费马原理与光的反射折射
费马原理与光的反射折射
费马原理：光传播的路径是光程取极值的路径
光的反射
如上图所示，光从P点出发射向x点，反射到Q点。
P 点到 x 点的距离
$$
d_1 = \sqrt{x^2 + a^2}
$$
Q 点到 x 点的距离
$$
d_2 = \sqrt{b^2 + (l-x)^2}
$$
点 P 到点 Q 的光程
$$
D = d_1 + d_2
$$
根据费马原理，光线在真空中传播的路径是光程为极值的路径。
取光程 D 对 x 的导数，令其为零：
$$
\frac{dD}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{-l + x}{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}} = 0
$$
根据三角函数关系：
$$
\sin{\theta_1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \quad \sin{\theta_2} = \frac{l - x}{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}}
$$
代入上面的求导，可以得到：
$$
\sin{\theta_1} = \sin{\theta_2} \quad \theta_1 = \theta_2
$$
光的折射
如上图所示，假设介质 1 和介质 2 的折射率分别为 $n_1, n_2$，那么光在介质 1 和介质 2 中的速度分别为 $v_1, v_2$，
$$
v_1 = \frac{c}{n_1} \quad v_2 = \frac{c}{n_2}
$$
从点 Q 到点 P 的传播时间 T为：
$$
T = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}}{v_2}
$$
根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间 T 对 x 的导数，设定其为零：
$$
\frac{dT}{dx} = \frac{x}{v_1 \sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{-l + x}{v_2 \sqrt{b^2 + (l-x)^2}} = 0
$$
根据三角函数关系：
$$
\sin{\theta_1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \quad \sin{\theta_2} = \frac{l - x}{\sqrt{b^2 + (l-x)^2}}
$$
$$
\frac{dT}{dx} = \frac{\sin{\theta_1}}{v_1} - \frac{\sin{\theta_2}}{v_2} = 0
$$
将速度公式代入可以得到：
$$
n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2}
$$
这个就是光的折射定律。
参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E5%8E%9F%E7%90%86