环的定义与性质

环的定义与性质

环是形如 $\left[R;\circ ,\ast \right]$ 的代数系统，其中 $Re \varnothing ,\circ ,\ast$ 为定义在 $R$ 上的两个二元运算。习惯上称。为加法，＊为乘法，并写成 $\left[R;+,\cdot \right]$ 。这里的 $R$ 是 Ring 环的起始字母，并非实数集。环在计算机和编码理论的研究中有许多应用。关于它的理论十分丰富，本书只是涉及其中最基本的部分。

环的定义与性质

定义14．1 代数系统 $\left[R;+,\ast \right]$ ，其中 + ，＊为定义在 $R$ 上的二元运算，满足下述条件，对任 $a,b,c\in R$ ，

（1）可结合：$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$ 。

（2）可交换：$a+b=b+a$ 。

（3）有单位元：存在 $0\in S$ ，使 $a+0=0+a=a$ 。

（4）每个元有加法逆元：存在 $-a\in S$ 使 $a+\left(-a\right)=0$ 。

（5）＊可结合：$\left(a\ast b\right)\ast c=a\ast \left(b\ast c\right)$ 。

（6）$\ast$ 满足分配律：$a\ast \left(b+c\right)=\left(a\ast b\right)+\left(a\ast c\right),\left(b+c\right)\ast a=\left(b\ast a\right)+\left(c\ast a\right)$ ，则称 $\left[R;+,\ast \right]$为环。

利用第 14 章的有关定义，可将上述定义简化为 $\left[R;+\right]$ 为 Abel 群（交换群）；［ $R;\ast$ ］为半群，两个运算满足分配律。

例子

例14．1 $\left[Z;+,\cdot \right],\left[Q;+,\cdot \right],\left[R;+,\cdot \right],\left[C;+,\cdot \right]$ 皆为环。 $\left[{M}_{nn}\left(R\right);+,\cdot \right]$ 是环，其中 ${M}_{nn}\left(R\right)$ 为实数 $n×n$ 阶矩阵集合。,+ 是矩阵的加法和乘法运算。此例中 $R$ 为实数集。

例14．2 $\left[{Z}_{5};\oplus ,\otimes \right]$ 是环。由同余类的 $\oplus$ 与 $\otimes$ 运算表可见

$\begin{array}{rl}& \left[i\right]\otimes \left(\left[j\right]\oplus \left[k\right]\right)\\ & =\left[i\right]\otimes \left[j+k\right]=\left[i\left(j+k\right)\right]=\left[\left(ij\right)+\left(ik\right)\right]\\ & =\left[ij\right]\oplus \left[ik\right]=\left(\left[i\right]\otimes \left[j\right]\right)\oplus \left(\left[i\right]\otimes \left[k\right]\right)\end{array}$

所以 $\left[{Z}_{5};\oplus ,\otimes \right]$ 是环。

例 $14.3Se \varnothing ,\left[P\left(S\right);\oplus ,\cap \right]$ 是环，其中 $\oplus$ 为集合的对称差，$\cap$ 为交运算。由于 $\oplus$ 及 $\cap$都是满足结合律，关于 $P\left(S\right)$ 封闭。 $\varnothing$ 为 $P\left(S\right)$ 之加法单位元，因为任意 $S$ 子集与 $\varnothing$ 的对称差为该子集。任一子集合为其加法逆元。所以 $\left[P\left(S\right);\oplus \right]$ 为可交换群；又由文氏图可验证

$\begin{array}{rl}& A\cap \left(B\oplus C\right)=\left(A\cap B\right)\oplus \left(A\cap C\right)\\ & \left(B\oplus C\right)\cap A=\left(B\cap A\right)\oplus \left(C\cap A\right)\end{array}$

上面 3 个例子中环的乘法运算部分所具有的性质较环所要求的要好得多，如可交换等。这样我们就可引进一些性质更好一些的环。

定义14．2 $\left[R;+,\cdot \right]$ 为环，当乘法＂．＂在 $R$ 中有单位元（一般表示为 1 ）时，称该环为有单位元环，当乘法＂•＂是交换的，则称它为交换环。常把乘法的单位元叫做环的单位元。

按此定义，例 14.1 与例 14.2 中的环皆为有单位元的交换环。其中 ${Z}_{5}$ 的单位元为［1］，例 14.1 中的 ${M}_{nn}\left(R\right)$ 单位元为单位矩阵，其余几个皆为整数 1 。例 14.3 中的单位元是集合 $S$ 。所以 $\left[P\left(S\right);\oplus ,\cap \right]$ 是有单位元环，且为可交换的环。

定理 $14.1\left[R;+,\cdot \right]$ 为环，则对任 $a,b\in R$ ，有

（1）$a\cdot 0=0\cdot a=0$

（2）$a\cdot \left(-b\right)=\left(-a\right)\cdot b=-\left(ab\right)$

证明：

（1）$a\cdot 0=a\cdot \left(0+0\right)=a\cdot 0+a\cdot 0$ 两边加 $-a\cdot 0$ 得 $a\cdot 0=0$ 同理 $0\cdot a=0$

（2）$a\cdot \left(-b\right)+a\cdot b=a\cdot \left(-b+b\right)=a\cdot 0=0$ 所以 $a\cdot \left(-b\right)=-\left(ab\right)$ 另一半同理可知。

由本定理的证明（1）可见，加法的单位元为什么常被叫做环的＂零元＂，实则因为它在环的乘法中起到＂ 0 ＂的作用。

定义 $14.3\left[R;+$,$\right]为环，a,b\in R,ae 0,be 0$ ，但 $a\cdot b=0$ 则称 $a$ 为 $R$ 的一个左零因子， $b$ 为 $R$ 的一个右零因子，统称 $a,b$ 为 $R$ 的零因子。

例 $14.4{M}_{2,2}\left(Z\right)=\left\{\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)|\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}a,b,c,d\in Z\right\}$ ，其中

$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ & \left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

两个等式左边的四个元素皆为 ${M}_{2,2}\left(Z\right)$ 的零因子。

定义 $14.4\left[R;+,\cdot \right]$ 为有单位元环，且有

（1）＂．＂满足交换律。

（2）$R$ 中没有零因子，即如果 $a\cdot b=0$ ，则 $a=0$ 或 $b=0$ ，就称 $R$ 为整环。

最典型的整环是 $\left[Z;+,\cdot \right]$ ，有关它的性质在后面还会进一步讨论。 $\left[P\left(S\right);\oplus ,\cap \right]$ 就不是整环，当 $A,B\in P\left(S\right),A,B$ 没有公共元时其交为 $\varnothing$（加法单位元）。

定理14．2 $\left[R;+,\cdot \right]$ 为整环，则其乘法满足消去律。

证明：设 $a\in R,ae 0,b,c\in R$ 且 $ab=ac$ ，所以

$a\left(b-c\right)=ab-ac=0$

由于 $R$ 没有零因子，$ae 0$ ，故有 $b-c=0$ 即 $b=c$ ，满足消去律。同理 $ba=ca$ 可导出 $b=c$ 。

只含有一个元素的整环 $R=\left\{0\right\}$ ，被称为零环，此时 0 也是它的单位元。但当 $|R|⩾2$ 时， $R$ 如果有单位元 1 ，则 $1e 0$ 。

定义 14.5 一个环 $\left[R;+,\cdot \right],|R|⩾2$ ，被称为除环，当

（1）它有单位元。

（2）每个非零元有逆元。

如果一个除环又是可交换时，称它为域。

由定义知当 $\left[R;+,\cdot \right]$ 为域时 $\left[R;+\right]$ 及 $\left[{R}^{\ast };\cdot \right]$ 是 Abel 群，其中 ${R}^{\ast }=R-\left\{0\right\}$ 。

例14．5［ $Z;+,\cdot \right]$ 是整环，但不是除环，除 1 外，它没有元素有逆元。有理数集 $\left[Q;+,\cdot \right]$ ，实数集 $\left[R;+$,$\right]和复数集\left[C;+,\cdot \right]$ 皆为除环，也是域。

例14．6 $F=\left\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in Q\right\}$ 关于 + 与•是域。

证明：容易验证 $\left[F;+,\cdot \right]$ 为交换环。 1 为其单位元。现在讨论非零元之逆元。

设 $a+b\sqrt{2}\in F$ ，其逆元为 $c+d\sqrt{2}$

$\begin{array}{rl}& \left(a+b\sqrt{2}\right)\left(c+d\sqrt{2}\right)=\left(ac+2bd\right)+\left(bc+ad\right)\sqrt{2}=1\\ & \left\{\begin{array}{c}ac+2bd=1\\ bc+ad=0\end{array}\end{array}$

于是

求得 $c=\frac{a}{{a}^{2}-2{b}^{2}},d=-\frac{b}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$ ，因为 $a+b\sqrt{2}e 0$ ，所以 ${a}^{2}-2{b}^{2}e 0$ ，故 $\left(a+b\sqrt{2}{\right)}^{-1}=\frac{a}{{a}^{2}-2{b}^{2}}-\frac{b}{{a}^{2}-2{b}^{2}}\sqrt{2},F$ 为域。

容易验证 $Q,R,C$ 都是域，分别称为有理数域，实数域和复数域。

最后将上面所提到的各种环之间的关系列图如下。

仿群的直积概念可引入环的直积定义，并在构造上对环作类似的分析。在此不详述，请做习题 14．7。