在无穷处的极限
在无穷处的极限
函数在无穷处的极限是高等数学中的一个重要概念，它帮助我们理解函数在变量趋向无穷大时的行为。本文将从定义出发，详细解释函数在正无穷和负无穷时的极限，并通过渐近线的概念进一步阐述这些极限的几何意义。
一个函数在x趋于某一点时可能存在极限，例如x趋近于a的时候，在另外的一些函数中还有可能会在趋近于无穷（∞）时存在极限（-∞或+∞），这些类型的函数一样非常常见。
1. 定义
之前文章的例子都是在接近一点x=a时的函数行为，在函数趋近于∞情况下的极限，重要的是要理解当x变得非常大时，一个函数的行为如何。用更简便的语言来描述就是：我们感兴趣的是，研究当变量x趋于∞时函数的行为，并且想写出
$$
\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=L
$$
并以此表示，当x很大的时候，f(x)变得非常接近于值L，并保持这种接近的状态。
另外，x也可以趋近于-∞，此时就可以写出如下式子
$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=L
$$
它表示当x变得越来越负 (或者更确切地说，-x变得越来越大时，函数f(x)会变得非常接近于值L，并保持接近的状态。
2. 渐近线
渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线，水平渐近线和斜渐近线。
(1) 例如上图反比例函数的渐近线就是X轴和Y轴，当x趋近于∞时极限为0，当x趋近于0时极限为∞。
(2)f在x=a处有一条垂直渐近线说的是，$\lim_{x \rightarrow a+}f(x)$和$\lim_{x \rightarrow a-}f(x)$，其中至少有一个极限是∞或-∞，例如上图中渐近线x=0时极限为∞。
后面需要使用渐近线的一些特性得到一些关于极限结论，所以这里引出一下关于渐近线的定义，实际上渐近线和这里的内容无关，只是使用到了，在这里作出一些解释。
3. 结论
如果函数y=f(x)的图像有一条左侧或右侧水平渐近线，如果愿意，你也可以把这些转化为定义（结论）：
(1)f在y=L处有一条右侧水平渐近线意味着$\lim_{x \rightarrow \infty}f (x)=L$。
(2)f在y=M处有一条左侧水平渐近线意味着$\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=M$。
(3) 不是所有函数有渐近线，像y=x^2这样的函数没有任何水平渐近线，因为当x变得越来越大时，y值只会无限上升。用符号表示我们可以写作$\lim_{x \rightarrow \infty}x^2=\infty$。
4. 渐近线的两个常见误解
第一个误解：
首先，一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线，在$f(x)=1/x$的图像中，左右两侧都有y=0这条水平渐近线，也就是说
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 \ \ 和 \ \lim_{x \rightarrow -\infty} -\frac{1}{x}=0
$$
考虑图 3-10 中$y=tan^{-1}(x)$的图像，如下
此函数在$y=\frac{\pi}{2}$处有一条右侧水平渐近线, 在$y=-\frac{\pi}{2}$处有一条左侧水平渐近线，它们是不同的。可以用极限来表示：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{2} \ \ 和 \ \lim_{x \rightarrow -\infty} tan^{-1}{x}=-\frac{\pi}{2}
$$
因此，一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线，但最多只能有两条水平渐近线（一条在右侧，另一条在左侧）它也有可能一条都没有，或者只有一条。例如$y=2^x$有一条左侧水平渐近线（就是y=0这条，也就是X轴），但没有右侧水平渐近线（因为右边无线变大，没有趋近一个值，所以没有渐近线）。
第二个误解：
另外一个常见误解是，一个函数不可能和它的渐近线相交。大家都认为渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线，但是这并不正确，这说的是斜渐近线。水平渐近线不这么定义，水平渐近线可以和函数相交。
比如定义为$f(x)=\frac{sin(x)}{x}$的函数f，这里我们只关心当x是很大的正数时的函数行为。
sin(x)的值在-1和1之间振荡（不是只-1和1两个值，而是-1到1之间的任意值），因此$\frac{sin(x)}{x}$的值相当于在$-\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x}$之间振荡，那么随着x趋近于∞，$-\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x}$趋近于0，这意味着$f(x)=\frac{sin(x)}{x}$的渐近线是y=0即X轴是f的水平渐近线，尽管y=f(x)的图像与X轴一次又一次地相交。