【矩阵】入门到精通！概念题型一网打尽|线性代数

【矩阵】入门到精通！概念题型一网打尽|线性代数

本文是一篇关于线性代数中矩阵概念和运算的详细讲解。从矩阵的基本定义开始，逐步介绍了矩阵与行列式的关系、矩阵的运算（加减法、数乘、矩阵乘法）、矩阵的转置、逆矩阵的概念和求法，以及分块矩阵的运算等知识点。内容详尽且系统，适合线性代数初学者或需要复习相关知识的学生。

1. 线性方程组和矩阵

矩阵是个啥？

矩阵：由mxn个数组成的一个m行n列的数表，就是一个“矩阵”

矩阵与行列式的关系

• 矩阵本质是一个数表
• 可以是矮胖型、也可以是瘦高型、或者是方阵
• 方阵：矩阵为正方形
• 行列式本质是一个数
• 行列式必须行数=列数

矩阵的同型与相等

• 矩阵同型：两个矩阵的行数、列数均相等
• 矩阵相等：两个矩阵同型，并且元素均对应相等

若两个矩阵里面的元素均是0，这两个矩阵不一定相等，有可能他们的形状不一致

2. 矩阵的运算

①加减法

对应位置相加或相减

矩阵加减法的性质：

• 具有交换律：A＋B = B＋A
• 具有结合律：(A＋B)＋C = A＋(B＋C)
• 行列式加减不需要同型，因为是数的加减

②数与矩阵相乘

λ以此与矩阵中每个数相乘

矩阵数乘性质

• 具有结合律：(λμ)A = λ(μA)
• 具有分配律：
• (λ+μ)A = λA＋μA
• λ(A+B) = λA＋λB

数与行列式相乘：数乘到某一行或某一列，其余位置不动

③矩阵与矩阵相乘

cij = 左边的行与右边的列对应相乘再相加

矩阵相乘前提：A矩阵列标 = B矩阵行标

矩阵的乘法不具有交换律

例6
用上面的公式

矩阵乘法的性质
矩阵不具有交换律

• ①本身就无法交换A=( )ₘₓₛ，B=( )ₛₓₙ
• ②交换结果不同型A=( )ₘₓₛ，B =( )ₛₓₘ
• ③交换结果不相等
• 例6：AB≠0，BA =0

矩阵不具有消去律

• ①AB=0 ≠> A=0或B=0
• ②AB=AC且A≠0 ≠> B=C

课后习题5
（1）X
（2）X

具有结合律：(AB)C = A(BC)
具有分配律：

• 左分配律C(A＋B) = CA +CB
• 右分配律：(A＋B)C = AC+BC

特殊矩阵

八个特殊阵

• 零矩阵：0乘任何矩阵都得0
• 单位矩阵：E乘任何矩阵都得任何矩阵
• 单位矩阵E：主对角线为1，其余处为0
• 数量矩阵：kE乘任何数都得k倍的任何矩阵
• 对角矩阵：主对角线之外的元素均为零，高次幂好求
• 三角矩阵：主对角线一侧的元素均为零
• 对称矩阵：Aᵀ=A，元素关于主对角线对称的矩阵
• 行向量：仅有一行元素的矩阵
• 列向量：仅有一列元素的矩阵

矩阵的转置

矩阵转置的性质

• ①(Aᵀ)ᵀ =A
• ②(A＋B)ᵀ =Aᵀ＋Bᵀ
• ③(λA)ᵀ =λAᵀ
• ④(AB)ᵀ =BᵀAᵀ

方阵的行列式

|方阵|的性质

• ①|Aᵀ| = |A|
• ②|λA| =λⁿ|A|
• ③|AB| = |A|B → |ABC| = |A| |B| |C|

伴随矩阵

矩阵的代数余子式进行转置

AA* =A*A =|A|E

3. 逆矩阵

啥是逆矩阵？

逆矩阵
在矩阵的乘法中，若|A|≠0，则存在唯一的矩阵B，使得AB = BA = E
则A可逆，矩阵B是A的逆矩阵，即B=A⁻¹.

若A，B是同阶矩阵
A可逆

• 具体矩阵：|A| ≠0
• 抽象矩阵：存在AB=E（或BA=E）

逆矩阵的性质

• ①若A可逆，则A⁻¹亦可逆，且(A⁻¹)⁻¹ =A
• ②若A可逆，数λ≠0，则A可逆，且(λA)⁻¹ = 1/λA⁻¹
• ③若A，B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)⁻¹ =B⁻¹A⁻¹.
• ④若A可逆，则A亦可逆，且(Aᵀ)⁻¹ =(A⁻¹)ᵀ.

逆矩阵咋求？

逆与伴随
已知|A|≠0，根据AA*=AA=|A|E及逆矩阵的定义，写出A⁻¹以及A.
A⁻¹ = 1/|A|·A*
A* =|A|A⁻¹

例11改
二阶的伴随矩阵：主对调负反号

例12
先求行列式
再求伴随矩阵
再用公式A⁻¹ =1/|A| ·A*

2001考研真题改编
设n阶矩阵A满足A²-2A-3E = 0
（1）证明A为可逆矩阵，并求出A⁻¹
某个矩阵·逆矩阵 = E
A-2需要写成A-2E，A-2E才是矩阵
左边凑一个A，右边凑E
A⁻¹ = 1/3（A-2E）
（2）证明(A＋2E)为可逆矩阵，并求出(A＋2E)⁻¹
左边凑A+2E，后边凑E

2008考研真题
设A为n阶非零矩阵，若A³=0，证明：A - E和A＋E可逆

• 立方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
• 立方和公式：a³＋b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
  左边凑A-E，后边凑E

矩阵方程—先判断可逆

例13
AXB = C
X = A⁻¹CB⁻¹
需要先判断|A|和|B|

矩阵公式大总结

①操作顺序可交换

• (A*)⁻¹ = (A⁻¹)*
• (Aᵀ)* = (A*)ᵀ
• (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹

②整体操作要对调

• (AB)ˀ =BˀAˀ
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
• (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
• (AB)* = BA

③重复操作会还原

• (Aˀ)ˀ
• (Aᵀ)ᵀ = A
• (A⁻¹)⁻¹ = A

④转置的优良性

• Aᵀ
• |Aᵀ| = |A|
• (kA)ᵀ = kAᵀ
• (A＋B)ᵀ = Aᵀ＋Bᵀ

⑤逆矩阵的定义

• AA⁻¹ = E
• |A⁻¹| =1/|A|
• (kA)⁻¹ = 1/kA⁻¹

⑥伴随矩阵的推导

• A* = |A|A⁻¹
• (kA)* = kⁿ⁻¹A*
• |A*| = |A|ⁿ⁻¹
• (A*)* = |A|ⁿ⁻²A

5. 分块矩阵

矩阵想咋分，就咋分！！

分块矩阵的运算

• 内外均合法：需要外面同型，里面也同型

分块矩阵的数乘

分块矩阵的乘法

先保证矩阵内外均合法，内标相等

例17
分块，再还原

分块矩阵的逆矩阵

主不变，副对调
例18
|A|：分块，拉普拉斯公式
A⁻¹：求里面元素的逆矩阵

• B⁻¹ = 1/|B|·B*
• B可用主对调负反号求
  A=|A|·|A|⁻¹