线性代数：生成空间

线性代数：生成空间

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/Nh_code/article/details/143970989

生成空间是线性代数中的一个重要概念，它描述了如何通过一组向量的线性组合来表示一个空间中的所有向量。本文将从二维空间开始，逐步推广到n维空间，解释生成空间所需的向量数量及其条件。

若在二维空间中任何向量，都可以表示为u ⃗ \vec uu和v ⃗ \vec vv的线性组合，则可以说u ⃗ \vec uu和v ⃗ \vec vv生成整个二维空间。

在u ⃗ ， v ⃗ \vec u， \vec vu，v生成的二维空间中，如加入一个向量m mm，那么向量组u ⃗ ， v ⃗ ， m ⃗ \vec u， \vec v， \vec mu，v，m也可以生成整个二维空间，这个二维空间中，任意一个向量都可以表示为这三个向量的线性组合。由于向量组u ⃗ ， v ⃗ \vec u， \vec vu，v已经生成了整个二维空间， 那么空间内任意一个向量都可以由u ⃗ ， v ⃗ \vec u， \vec vu，v的线性组合所表示，当向量m ⃗ \vec mm加入进来之后，只要向量m ⃗ \vec mm的组合常数k kk取零，那么u ⃗ ， v ⃗ ， m ⃗ \vec u， \vec v， \vec mu，v，m三个向量的线性组合就可以表示任意一个向量，所以说u ⃗ ， v ⃗ ， m ⃗ \vec u， \vec v， \vec mu，v，m生成整个二维空间。
生成一个二维空间，至少需要两个向量。

• 如果只有一个向量，如向量v ⃗ \vec vv，通过一个向量v ⃗ \vec vv的线性组合获得的向量一定在v ⃗ \vec vv向量所在的直线上，因为一个向量前面乘以一个系数k kk本质只是在对向量进行缩放。所以一个向量无法生成一个二维的面。
• 最少肯定也不是3个向量，因为如果已经存在两个向量不共线，那么这第三个向量就可以由前两个向量的线性组合所表示，在这种情况下，第三个向量就已经是多余的了。
  **推广到空间中，若空间中的任一向量都可以表示成v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , v ⃗ 3 , ⋯   , v ⃗ p \vec v_{1},\ \vec v_{2},\ \vec v_{3},\cdots,\ \vec v_{p}v1 , v2 , v3 ,⋯, vp 的线性组合，则称这些向量可以生成这个空间。**要生成一个n nn维空间，至少需要n nn个向量才能够生成。其中，对于n nn个向量，若这n nn个向量存在共线向量，是不可以生成n nn维空间的。
  证明：当且仅当由n nn个n nn维向量的列向量组成的方阵A有逆的时候，可以生成整个n nn维空间。
  若n nn个n nn维向量v ⃗ \vec vv生成整个空间，那么对于这n nn个向量v ⃗ \vec vv的列向量组成的系数矩阵A AA与n nn维空间中的任意一个向量u ⃗ \vec uu组成的线性系统是一定有解的，也就是n nn维空间里的任意向量都可以由生成空间的n nn个n nn维v ⃗ \vec vv向量的一个唯一线性组合表示。由于u ⃗ \vec uu是空间中任意一个向量，所以向量u ⃗ \vec uu的分量是随机的(u i u_{i}ui 可能为是一个非零数)，因此线性系统的系数矩阵A AA的行最简形式一定不能存在零行，若存在零行，那么矩阵A AA无解， 向量组v ⃗ \vec vv的线性组合无法表示空间内的向量u ⃗ \vec uu。
  既然系数矩阵A AA的行最简式都是非零行,那么线性系统满足n nn个未知数和n nn个方程，所以线性系统不可能有无穷解，只有有唯一非零解。此时当一个线性系统只有唯一解的时候，意味着对应的增广矩阵的系数矩阵A AA一定是可逆的，因为只有可逆矩阵满足A x = b → x = A − 1 b Ax=b \to x= A^{-1}bAx=b→x=A−1b。