微积分的本质：从核心概念到基本定理
微积分的本质：从核心概念到基本定理
微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是变化率和累积量之间的关系。微积分的核心概念包括微分、积分以及微分和积分之间的互逆关系。本文将从圆面积的推导、微元法、积分函数的性质等具体例子出发，深入浅出地介绍微积分的基本思想和方法论。
微积分体系中的三个核心知识点
微积分体系中的三个核心知识点是微分、积分以及微分和积分之间的互逆关系。
从微元法和面积近似的角度看圆面积公式的推导
故事的开端从，你为了计算圆的面积，将圆剪成了若干个同心圆环来近似求解，开始。
p.s.将圆拆解的方式有很多种，选择将圆剪成若干个圆环，保留了圆的对称性，这在数学中是一个良好的性质。
如果能为每一个圆环找到一个合适的面积计算公式，通过将所有圆环面积求和即能计算得到整个圆的面积。
将每一个圆环拉直，在厚度较小时，可以很好地近似成一个长方形——其长为圆的周长，宽为每一个圆环之间的厚度差，其大小取决于你剪裁的粒度。
接下来这个步骤可以很直观地解释“微元法”中——对ds微元面积函数“积分“”就可以得到总面积的观点。
p.s.虽然，作者在视频中讲述的时候并没有提到所谓“微元”、“积分”等概念，但这的确是一个很好的启蒙。
将圆中每一个圆环单独拎出来，并将圆环拉直成一个类矩形，根据圆环取出的不同位置，可以在数轴上从0到r的位置上将这些矩形块进行排列。
得到上图的分布，因为每一个类矩形的高都是2πr，且横轴就是关于r的分布，因此在二维坐标系中画出y = 2πr的曲线，该曲线下每一个小矩形块的最高点延伸到该曲线上的某一点。
当矩形块分割得足够细的时候，就可以用该曲线下的面积来等价替换得到圆形的面积。
可行的方法论
- 化繁为简，分而治之
将一个大的问题进行微小划分，当分割得无限细的时候，这个时候每一个部分就可以称为一个微元。
- 用图像下的面积来替代原来问题的解
不规则曲线下面积的求解思想——引出微积分基本定理
以一个很直观的角度引出了“积分”的概念，也相当于是谈论了为什么数学家需要“积分”这个工具。
积分函数
如图，若想要求某抛物线下的面积，通过移动x=k这条边界线，面积自然也会发生变化。
想要找到一个函数能够代表，随着x的不同，围成的不同的面积，把这样的函数就称为该曲线对应的函数的积分。
动机：之所以想要找出这样一个函数，不是为了仅仅提出一个数学难题，而是为了能够很好地将问题转化称为求解某图像下的面积。
积分函数的性质
求解积分函数的方法【依然分而治之】
考虑该曲线下围成的面积的变化量：当我把该直线往横轴上进行一点微小移动，来比较该面积的微小变化。
dA依然可以用一个类矩形来近似代替，从而得到下图中的性质——dA/dx=f(x)
纵然我们不知道A(x)是什么，但是我们知道每一个A(x)具有如上性质。
导数
粗略来说，导数衡量的是函数对取值的微小变化的敏感程度。
- 引出导数的概念，也是因为导数有其用途，尤其是在解决积分问题时——通过明确导数，从而还原出相应的原函数。
微积分基本定理
- 描述：通过某个图像下方面积函数的导数，能够还原出定义这个图像的函数，就叫做“微积分基本定理”
- 意义：将积分和导数这两大概念联系起来。