第04讲 余弦定理(思维导图+知识梳理+4类核心考点+过关测)

第04讲 余弦定理(思维导图+知识梳理+4类核心考点+过关测)

第04讲 余弦定理

本讲内容包括余弦定理的思维导图、知识梳理、4类核心考点以及过关测试，旨在帮助学生系统地学习和掌握余弦定理的相关知识。

思维导图

知识梳理

余弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形的边长与角度之间的关系。具体来说，对于任意三角形ABC，其边长分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，则有：

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

余弦定理可以用于解决以下问题：

1. 已知三角形的两边及其夹角，求第三边的长度。
2. 已知三角形的三边长度，求其内角的大小。
3. 判断三角形的形状（锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）。

核心考点

考点1：余弦定理的基本应用

例题1：在△ABC中，已知a=5，b=7，C=60°，求c的长度。

解：根据余弦定理，有
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$
代入已知数值，得
$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°$$
计算得
$$c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$$
因此
$$c = \sqrt{39}$$

考点2：余弦定理在解三角形中的应用

例题2：在△ABC中，已知a=6，b=8，c=10，判断△ABC的形状。

解：根据余弦定理，可以计算出最大角C的余弦值：
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 8^2 - 10^2}{2 \times 6 \times 8} = 0$$
因此，C=90°，所以△ABC是一个直角三角形。

考点3：余弦定理与三角形面积的结合应用

例题3：在△ABC中，已知a=5，b=7，C=60°，求△ABC的面积。

解：根据余弦定理，可以先求出c的长度：
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 25 + 49 - 35 = 39$$
因此
$$c = \sqrt{39}$$
然后，根据三角形面积公式：
$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35\sqrt{3}}{4}$$

考点4：余弦定理在实际问题中的应用

例题4：某人从A地出发，先向东走5km，再向北偏东60°方向走7km到达B地。求A、B两地之间的直线距离。

解：将问题转化为三角形问题，设AB之间的直线距离为c，根据余弦定理：
$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 120°$$
计算得
$$c^2 = 25 + 49 + 35 = 109$$
因此
$$c = \sqrt{109}$$

过关测试

1. 在△ABC中，已知a=3，b=4，C=60°，求c的长度。
2. 在△ABC中，已知a=5，b=12，c=13，判断△ABC的形状。
3. 在△ABC中，已知a=6，b=8，C=45°，求△ABC的面积。
4. 某人从A地出发，先向北走8km，再向西偏北30°方向走6km到达B地。求A、B两地之间的直线距离。