函数序列的逐点收敛和一致收敛的理解
函数序列的逐点收敛和一致收敛的理解
函数序列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在理论研究中占据核心地位，也在实际应用中发挥着重要作用。本文将详细探讨函数序列的两种主要收敛方式：逐点收敛和一致收敛。通过严谨的定义、深入的理解以及具体的例子，帮助读者全面掌握这两个概念的区别与联系。
1. 逐点收敛(Pointwise Convergence)
1.1 逐点收敛定义
我们令
为一个非空子集，并假设对于每一个
，我们都有一个函数
。则我们称
是
上的一个函数序列。
定义：令
为
上的一个函数序列。若对于每一个
，序列
收敛于一个数
，即 **
**
，**
则我们称函数序列
在
上**逐点收敛于函数
。在这种情况下，我们称函数
为序列
的逐点极限。
引理(判别法)：令
为A上的一个函数序列，
**为一个函数。当且仅当对于每一个
和每一个
，都存在一个
，使得对于所有的****
，都有
，则称函数序列**
逐点收敛于函数
。
1.2 对逐点收敛的理解
根据定义，“对于每一个x∈A和每一个ε > 0”，我们应理解为每次先固定一个x和一个 ε (我们不妨设为
和
)，再去求这个K，这个函数序列在n≥K之后的所有序列项 ，其
中的所有项与这个固定的
之间的函数值都在
范围内，即
。当我们取下一个x和另一个 ε (我们不妨设为
和
)时，前面这个K就未必适合了，因此K又得变化，因此，所谓的对于每一个x∈A和每一个ε > 0 ，是逐个取值的。也就是说，这个K****的取值既受**x*的约束，也受*ε**的约束，不同的*x**和*ε**取值，这个K是不一样的，不存在某个K和每一个ε> 0**对整个区间上的x**都成立。
1.3 举例说明
我们设这个函数序列
, 其示意图如图 1.3.1所示。
-------------------------------图 1.3.1：函数序列
示意图---------------------------------------
我们看到，这个函数序列的逐点收敛极限为f(x) = 0 。当我们固定下第一个x值和ε > 0 时，K= 3 就足够大，n≥ 3 之后的每一个
在这一点的函数值与f (x) = 0 的距离都小于ε 。接下来，我们换一个x值，将取值向 x轴正方向前移一个位置，在这个位置，K= 3 已经不满足要求了，在这个x值处，
函数值与f (x) = 0 的距离大于 ε ，这时候，要取K= 4 才能满足要求。也就是说，K 的取值既受限于x，与受限于ε，并不存在一个K对于取定的 ε对所有x都成立(一致收敛例外)。从函数序列的图像的直观性上来讲，函数序列图像之间随着x 的变化其间距变化幅度较大，不一致。
2. 一致收敛(Uniform Convergence)
2.1 一致收敛定义
定义(判别法)：令
为A上的一个函数序列，
为一个函数。若对于 任意ε > 0 ，都存在一个
，使得只要**
，则对于所有的****
，都有
，则称函数序列
在 A上一致收敛于函数**
。
2.2 对一致收敛的理解
** 根据一致收敛的定义，K的取值仅与ε有关，而与x无关。当我们取定了一个ε之后，就可以找到这么一个K值，在这个值之后的所有
项，对于所有的**x值，其函数值与极限函数的距离都在ε范围内。从直观上来看，这个K值之后的所有序列函数，其图像之间的间距变化幅度一致，总是在一定的范围内变化。
2.3 举例说明
我们设这个函数序列
, 其示意图如图 1.3.2所示。
----------------------------图 1.3.2：函数序列
示意图-------------------------------------
我们看到，这个函数序列的一致收敛函数为f(x) =x，根据逐点收敛定义，首先它是逐点收敛的。而根据致收敛定义，它是一致收敛的。当我们取定了一个ε值之后，就能找到这么一个K值，n≥K**之后的所有函数序列对于有的x，它们与其极限函数之间的距离都小于ε。也就是说，**K的取值仅于ε有关，与x取值。任意取定一个x之后，函数序列总是在某一项之后能满足对于所有的x取值，其与极限函数的距离都小于这个ε。这些函数序列图像之间的距离在一定范围内变动，不会无限变大，一致。