三角函数的由来

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@小白创作中心

三角函数的由来

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CSDN

https://blog.csdn.net/m0_52386516/article/details/142314501

我们可以把单位圆的半径看成是一个矢量，那么它就是由另外两个相互垂直的矢量相加而构成的。因为我们知道矢量的加法有一个三角形法则，就是把两个矢量头尾相连，再把起点和终点连起来，得到的矢量就是相加所得的和。图1.1所示
a:底边；b:对边；c:斜边；单位元半径R=1；

图1.1
当我们旋转这个单位矢量的时候，很显然作为圆的半径，它的长度是不会变的，但它的两个分量却随时都在变动。所以，如果我们要研究单位圆半径的旋转，直接研究半径本身是得不到什么结果的，因为它没有变化。我们应该把目光放在这两个变化的分量a和b上面。图1.2、图1.3
图1.2

图1.3
为了弄清楚这两个分量在旋转角变化的时候是怎么跟随变化的，让我们来新增加一个坐标轴t，这个坐标上的每一格都表示旋转角增加一度。假设旋转速度是均匀的，每秒转一格，那么我们可以把新增的坐标轴看成是时间轴。图2.1
图2.1
现在我们转起来，于是乎旋转轨迹在新坐标轴上就形成了一条螺旋线。图2.2
如果我们把X分量和Y分量每过一秒就拍个定格照，于是看上去就像是这个样子的。图2.3

图2.2

图2.3

我们单独来看看X分量和Y分量形成的两个侧面--图3.1。
余弦：很显然，X分量形成的轨迹，实际上就是余弦波。图3.2

图3.1

图3.2
正弦：而Y分量形成的轨迹，实际上就是正弦波。所以，如果我们看到波形运动，比如简谐运动、声波、电磁波等等等等，我们都可以大胆的猜测他们的后面一定是隐藏了一个圆周运动。图3.3

图3.3
正弦函数：
对边
斜边；
在中学课本里它被定义为直角三角形的对边
斜边。但是在单位圆里，因为斜边就是圆的半径，等于1，所以y=
，也就是我们的Y分量长度。图3.4
余弦函数：
底边
斜边；
它被定义为直角三角形的底边
斜边，斜边就是圆的半径，等于1，
，在单位圆里很明显，它就等于我们的X分量的长度，图3.5

图3.4
图3.5
单位圆的参数方程：{
，y=
}；
X分量等于
，y分量等于
，我们可以用这两个三角函数来表示单位圆的参数方程
{
，y=
}；图3.6

=
1
既然他们构成了一个单位圆里面的直角三角形，根据勾股定理，两个直角边的平方和就应该等于斜边的平方。斜边就是单位圆的半径，那么
=
；图3.7

图3.6

图3.7
**
；
；**
现在我们把余弦矢量，也就是底边平移到上面，于是乎他又变成了
这个角的正弦矢量
。
，所以它们是互余角的关系。
所以我们又得到这么一个公式：
；即
；图3.8

图3.8

现在我们在单位圆与X轴的交点上画一条切线，并且与斜边的延长线相交，这样就又形成了一个更大的直角三角形。现在我们用大三角形的对边
**底边就得到了**正切函数
。而因为大三角形的底边就是单位圆的半径，所以实际上大三角形的对边=
；图4.1
图4.1
如果我们转动半径，就可以得到正切函数的函数图；图4.2；
正割：
=斜边
底边；
；图4.3
图4.2
图4.3
在这个大三角形上还有条斜边，如果我们用这条斜边
底边，那就得到了正割函数
。而现在大三角形的底边=1，所以大三角形的斜边=
。这个大直角三角形当然也符合勾股定理，于是：
；图4.4

图4.4