向量——通俗地解释
向量——通俗地解释
向量是线性代数中的基本概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。本文将从物理、数学和计算机三个不同视角来解释向量的概念，并详细讲解向量的加法、数乘和点乘等核心运算。
1. 向量
向量是一个既有大小(模)又有方向的对象，它可以用来描述空间中的位置、力或速度等量。我们可以从物理、数学和计算机的角度来看待向量，这三种观点看似不同却有关联。
（1）在物理专业视角下，向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度(大小)和它所指的方向。处在平面中的向量是二维的，而处在我们所生活的空间中的向量是三维的。
（2）在计算机专业视角下，向量是有序的数字列表，例如二维向量x = [1, 2]。
（3）在数学专业视角下，向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。向量加法与向量数乘贯穿线性代数始终，二者起着很重要的作用。
2. 向量是有序的数字列表
（1）在二维空间中(X-Y平面)，我们通常以原点（也就是坐标(0,0)）作为起点，一个向量的坐标由"两个数"组成。而这"两个数"表示：如何从原点(向量起点)出发到达它的尖端(向量终点)。例如，二维向量x = [2, 4]，向量通常使用方括号([])括起来。对于二维向量x = [x0, y0]，第一个数x0表示向量沿着X轴能走多远；第二个数y0表示向量沿着Y轴能走多远。数x0和y0的正负表示向量移动的方向，“正数” 表示向着"X-Y"的正半轴移动，“负数"表示向着"X-Y"的负半轴移动。每"一对数"给出唯一的一个二维向量，而每一个二维向量恰好对应唯一的"一对数”。
（2）在三维空间中(X-Y-Z)中，我们通常也以原点（也就是坐标(0,0,0)）作为起点，每个向量由一对三元组构成，例如三维向量x = [2, 4, 6]。对于三维向量x = [x0, y0, z0]，第一个数x0表示向量沿着X轴能走多远；第二个数y0表示向量沿着Y轴能走多远；第三个数z0表示向量沿着Z轴能走多远。每个"三元组"给出唯一的一个三维向量，而每个三维向量恰好对应唯一的"三元组"。
（3）当向量空间的维度超过三维时，我们直观上是想象不到的，但仍然可以使用数字来表示多维向量。例如：四维向量x = [2, 4, 6, 8]，六维向量x = [2, 4, 6, 8, 10, 12]。由此可以得到n维向量x的表示形式为：x = [x0, x1, x2, …, xn]。
3. 通俗解释：向量加法与向量数乘
3.1 向量加法
（1）使用二维坐标系(X-Y)来解释向量的加法
从下图一可以看出：向量v = [1, 2]，向量w = [3, -1]。
图1 二维向量 v 和 w
接下来我们对二维向量v和w进行相加。具体而言，相加之后的向量就是从第一个向量出发，指向第二向量的终点，两个向量之和（v + w）的表示如下图2所示。由下图2可以看出v + w = [4, 1]，而向量v和w按元素累加可得：[4, 1]，也就是说：向量的加法就是对应坐标位置的元素进行累加。
图2 向量加法
（2）向量加法的通俗解释
我们可以把每个向量看成是一种特定的运动，即在空间中朝着一个方向迈出一定距离。对于上图2中的向量加法，我们先沿着第一个向量v的方向进行运动，然后再按照第二个向量w的方向进行移动。其实这两次的总体运动效果就等价于从原点出发，沿着向量v + w的方向进行运动。
更通俗地来讲，你可以把向量v + w看成从原点出发，先向右走1步，再往上移动2步，接着往右移动3步，最后向下移动1步。或者也可以看作从原点出发，先向右走4步，再向上移动1步。这也就证明了：v + w = [1, 2] + [3, -1] = [1 + 3, 2 - 1] = [4, 1]。
3.2 向量数乘
假设v = [3, 1]，那么2v = [2×3, 2×1] = [6, 2]，如下图3所示。
图3 向量数乘1
由图3可知，2v相当于把向量v拉长为原来的2倍。如果是1/3v = [1/3×3, 1/3×1] = [1, 1/3]，那么就相当于把向量v缩短为原来的1/3，如下图4所示。
图4 向量数乘2
当一个向量与一个负数相乘时，例如-1.8v = [-1.8×3, -1.8×1] = [-5.4, -1.8]，表示首先这个向量v先反向，然后伸长为原来的1.8倍，其运算结果如下图5所示。
图5 向量数乘3
上述的这种拉伸或者压缩，有时又使向量反向的过程被称为缩放。
4. 向量点乘(结果是一个数)
（1）几何表示：a ⋅ b = |a| × |b| × cosθ，其中θ是向量a和b的夹角，|a|是向量a的模(大小)，|b|是向量b的模(大小)。图形化描述如下所示，从下图可知，向量点乘通常用来描述一个向量在另一个向量的投影分量。
（2）代数表示：a = (ax, ay, az)，b = (bx, by, bz)，则a ⋅ b = axbx + ayby + azbz（向量内积，点乘）。
（3）例子：a = (1, 1)，b = (1, 0)，我们可以在二维坐标系(X-Y)上显示这两个向量，这两个向量之间的夹角为45°。因此：a ⋅ b = √2 × 1 × cos45 = 1，或者使用点积来表示：a ⋅ b = 1 × 1 + 1 × 0 = 1。
参考：【熟肉】线性代数的本质 - 01 - 向量究竟是什么？
向量点乘的图形学意义