自动驾驶中的车辆运动学模型：两轮模型详解
自动驾驶中的车辆运动学模型：两轮模型详解
车辆运动学模型是自动驾驶技术中的重要组成部分，它通过数学方式描述车辆的运动状态，为自动驾驶系统的决策和控制提供基础。本文将详细介绍车辆运动学模型中的两轮模型，包括其基本假设、数学推导和实际应用。
车辆运动模型是指用数学方式描述车辆运动而不考虑影响车辆运动的力。运动方程式基于控制对象的几何关系而建立的。建立的运动模型需要以下假设作为前提：
- 不考虑车辆在Z轴上的运动，只考虑XY水平面的运动；
- 左右侧车轮转角一致，可以将左右侧轮胎合并为一个轮胎；
- 车辆行驶速度变化缓慢，忽略前后轴载荷的转移；
- 车身及悬架系统是刚性的。
车辆可以简化为两轮模型，如下图所示。在该模型中，车辆前轮由位于A点的一个车轮替代，同理后轮由位于B点的一个后轮替代。前后轮的转角分别使用δf和δr表示。此模型建立的前提是前后轮均能转向。如果只有前轮可以转向时，则将后轮转向角δr设置为0。车辆的质心位于点C，从质心C到点A和B的距离分别使用lf和lr表示，车辆的轴距表示为L = lf + lr。
假设车辆进行平面运动，此时需要用三个变量描述车辆的运动：X、Y和ψ。点（X、Y）为车辆质心点的坐标，ψ用来描述车辆的行驶方向。车辆质心点的速度用V表示，车辆速度方向与车辆纵轴的夹角用β表示。在运动学模型中，A点和B点的速度方向分别为前轮和后轮的方向，前轮速度方向与车辆纵轴形成的夹角用δf表示，后轮速度方向与车辆纵轴形成的夹角用δr表示，并忽略前后轮的侧偏角。忽略侧偏角的假设对低速行驶的车辆是合理的，因为在低速时，轮胎产生很小的侧向力。为了能够在任意半径R的环形道路上行驶，两轮的侧向力之和为mV/R。它随着车速V变化，在低速情况侧向力小。此时，将车轮的速度方向视为车轮的方向的假设是成立的。另外，车辆的瞬时旋转中心用点O表示，旋转中心O由垂直两滚动轮方向的直线AO、BO的交点决定。车辆行驶轨迹的半径R，等于连接质心C和旋转中心O的线段CO的长度。质心处的车速方向垂直与线段OC。质心处速度方向与车辆纵轴形成的夹角为车辆的侧偏角β。车辆的横摆角用ψ表示，因此，车辆方向角为γ = ψ + β。在ΔOCA中用正弦定理，有：
sin(δf - β)/lf = sin(π/2 - δf)/R (1)
在ΔOCB中用正弦定理，有：
sin(β - δf)/lr = sin(π/2 - δr)/R (2)
由式1可得
-sin(β)cos(δf)/lf = cos(δr)/R (3)
由式2可得
cos(δr)sin(β) - cos(β)sin(δr)/lf = cos(δr)/R (4)
在式3两侧同时乘以lf/cos(δf)可得：
tan(δf)cos(β) - sin(β) = lf/R (5)
在式4两侧同时乘以lr/cos(δr)可得：
sin(β) - tan(δr)cos(β) = lr/R (6)
式5和式6相加得：
tan(δf) - tan(δr)cos(β) = (lf + lr)/R (7)
如果车辆轨迹半径缓慢变化，那么车辆行驶方向的变化率（ψ）将等于车辆的角速度。由于车辆的角速度为V/R，因此有
ψ = V/R (8)
将式7和式8整理为：
ψ = Vcos(β)/(lf + lr) * (tan(δf) - tan(δr))
因此，运动的总方程为：
X = Vcos(ψ + β)
Y = Vsin(ψ + β)
ψ = Vcos(β)/(lf + lr) * (tan(δf) - tan(δr))
在此模型中由三个输入量，为δf、δr和V。速度V为外部变量，可以假设它为时间的函数或者是从纵向车辆模型中获得。侧偏角β可由式5 推导得到：
β = arctan((lftan(δr) + lrtan(δf))/(lf + lr))
这里在两轮模型需注意左右前轮由一个前轮代替，通常假设左右轮转向角近似相等，但是严格来说并非如此。这是因为每个车轮的行驶路径的半径不同，下图为一个前轮转向车辆的运动情况。
这里用lw表示车辆的轨迹宽度，δo和δi分别表示外侧和内侧的转向角，设轴距L = lf+ lr小于半径R。若侧偏角β很小，那么式8可近似为：
ψ/V ≈ 1/R = δ/L 或者 δ = L/R
由于内侧和外侧车轮的行驶半径不同，因此有：
δo = L/(R + lw/2)
δi = L/(R - lw/2)
前轮的平均转向角为：
δ = (δo + δi)/2 ≈ L/R
δo和δi之间的差值为：
δi - δo = L/(R^2)lw = δ*2lw/L
因此，两前轮转向角的差值与平均转向角的二次方成正比。可从转向梯形拉杆（Trapezoidal Geometry）的布置获得这类差分转向。