“二次型”来了！一小时实现从入门到精通|线性代数

“二次型”来了！一小时实现从入门到精通|线性代数

当年线代 | 6 二次型
1️⃣二次型及其标准型
二次型是什么？
二次型的定义
理解：含n个变量x₁，x₂，...，xₙ不含常数的，每一项未知数的次数和均为2的函数
矩阵表达式
①A是二次型f的矩阵（A是对称矩阵且唯一）
②r(A)是二次型f的秩
③二次型f与对称矩阵A一一对应

• 平方项→主对角线
• 其余项→两边均分
  写出二次型矩阵
  1.设二次型f=x² -3z² -4xy +yz，试用矩阵记号写出。

1. 先写表格，根据未知数对应前面的矩阵
2. 找xᵀAx
3. 求二次型f(x₁, x₂, x₃) =-2x₁x₂ +2x₁x₃ +2x₂x₃的秩.
   先找矩阵
   因为主对角线都是0

• 可以先求行列式，如果行列式≠0：满秩
  二次型的标准形
  标准形的定义
  理解：若二次型只含有平方项，不含有交叉项，则称为标准二次型（简称标准形）
  规范形的定义
  理解：规范形是特殊的标准形，平方项前面的系数只取1，-1，0，则称为规范二次型（简称规范形）
  什么是线性变换？
  线性变换的定义
  是否为线性变换
  C可逆时，变换才有意义
  可逆线性变换
  行列式≠0，可逆
  矩阵的合同
  合同的定义
  ①矩阵合同
  设A，B是n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得CᵀAC=B，则称A与B合同
  ②合同对角化
  设对称矩阵A，一定存在可逆矩阵C，使得CᵀAC=Λ，则称为合同对角化
  二次型化标准形
  可逆变换的不变量
  正负惯性指数
  惯性指数：
• 正惯性指数p = 标准形正平方项的个数 = 正特征值的个数 = 规范形“1”的个数
• 负惯性指数q = 标准形负平方项的个数=负特征值的个数 = 规范形“-1”的个数
  二次型矩阵的秩：r(A) = p+q
  惯性定理
  二次型经过多次可逆线性变换
• 秩不变
• 正负惯性指数恒不变
• 正负特征值个数不变
  2️⃣正交变换化标准型
  正交变换的原理
  正交变换是特殊的可逆线性变换，具有不改变图像形状的特点
  A为实对称矩阵，根据相似的知识，一定存在正交矩阵Q，使得QᵀAQ = Λ
  
  正交变换的应用
  例14

1. 写出二次型对应的矩阵
2. 求特征值和特征向量
3. 重根的特征向量正交化
4. 将三个特征向量单位化，两两拼一起得到P
5. 写成线性变换的形式，将二次型变成标准型，系数是特征值
   3️⃣配方法化标准型
   配方法的原理
   一次解决一项，第一次配方就把所有含x的项全部吸收，第二次就把所有含x²的项全部吸收
   （y=Cx），但线性变换是x=Py的形式

• 系数与特征值同正负
  配方法的应用
  例16改：配方法化标准形

1. 一次解决一项：含x₁的挑出来
2. 换元，y₁=（），y₂=（），y₃=
3. 求逆：x=C₁⁻¹y
   例16改：配方法化规范形
4. 一次解决一项：含x₁的挑出来
5. 把系数吸收到平方项里
6. 换元，y₁=（），y₂=（），y₃=
7. 求逆：(kA)⁻¹ =A⁻¹/k
   例16：配方法化规范形（无平方项）
   在f中不含平方项，由于含有x₁x₂乘积项，
   得到了带平方项的式子，系数吸收到平方项里
   求的是变换矩阵：一开始是x，变到z

• x=C₁y；z=C₂y；x=C₁C₂⁻¹y
  4️⃣正定二次型
  什么是正定二次型？
  若x=0，则f=0
  若x≠0，则f=？
  设二次型f(x)=xᵀAx，若对任何x≠0，
• 都有f(x)>0，则称f为正定二次型，对称矩阵A是正定矩阵
• 都有f(x)<0，则称f为负定二次型，对称矩阵A是负定矩阵
  正定的定义
  x₁、x₂、x₃任意取数字，看看正不正定
  有反例就不正定
  正定的判定
  对称矩阵A正定：

1. f = xᵀAx ≥0，当且仅当x=0，f=0
2. 顺序主子式均>0
3. 正惯性指数=n（或λᵢ均>0）
4. A与E合同

• PᵀAP = E
• CᵀEC = A → A = CᵀC
  带参数的问题的正定二次型
  根据二次型写矩阵
  顺序主子式均>0：一阶、二阶、三阶依次往下找
  得到a的取值范围
  负定的判定
  对称矩阵A负定：

1. f = xᵀAx ≤0，当且仅当x=0，f=0
2. 顺序主子式

• 奇数阶为负
• 偶数阶为正

3. 负惯性指数 = n（或λᵢ均<0）
   例17
   写出对应矩阵
   顺序主子式：负定

• 一阶<0
• 二阶>0
• 三阶<0