积分学基础：从黎曼积分到多变量函数积分
积分学基础：从黎曼积分到多变量函数积分
积分学是数学中的一个重要分支，它与微分学一起构成了微积分学的基础。本文将从黎曼积分的定义出发，介绍积分学的基本概念、计算方法及其几何意义。通过具体的例题，帮助读者更好地理解积分学的核心内容。
1. 黎曼积分（Riemann Integral）
黎曼积分是积分学中一种比较基础且常见的积分概念。除此之外，还有勒贝格积分等。但是本文只讨论黎曼积分。
👉单变量函数黎曼积分：
令f ( x ) f(x)f(x)为开区间( a , b ) (a,b)(a,b)上的一个连续函数，对于任何一个正整数n nn定义，x i = a + i ( b − a ) n x_i=a+\frac{i(b-a)}{n}xi =a+ni(b−a) 求和式：
S n ( f ) = ∑ i = 0 n − 1 f ( x i ) ( x i + 1 − x i ) S_n(f)=\sum^{n-1}{i=0}f(x_i)(x{i+1}-x_i)Sn (f)=i=0∑n−1 f(xi )(xi+1 −xi )
如果极限lim n → ∞ S n ( f ) \lim _{n\to \infty} S_n(f)limn→∞ Sn (f)存在，那么函数f ( x ) f(x)f(x)在这个区间上的黎曼积分为：
∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ S n ( f ) \int ^b_a f(x)dx=\lim_{n\to \infty} S_n(f)∫ab f(x)dx=n→∞lim Sn (f)
1.1. 黎曼积分的几何意义
‼️黎曼积分的几何意义：函数与x轴之间的有向面积。
如上图所示，黎曼积分其实就是用多个矩形的面积去逼近函数曲线下面积。
上图中每个矩形的面积为f ( x h ) ( x i + 1 − x i ) , x h ∈ [ x i , x i + 1 ] f(x_h)(x_{i+1}-x_i),x_h \in [x_{i},x_{i+1}]f(xh )(xi+1 −xi ),xh ∈[xi ,xi+1 ]。此外，每个矩形的宽度也不一定非得是相同的：
这是因为当矩形的个数趋于无限大时，得到的结果都是相同的，都是曲线下的面积。
了解了这些之后，我们再来进一步看下什么叫做有向面积。
函数与x轴之间的有向面积即下图中蓝色区域的面积减去黄色区域的面积：
这个结合上述的公式也很好理解，因为蓝色区域部分f ( x h ) > 0 f(x_h)>0f(xh )>0，而黄色区域部分f ( x h ) < 0 f(x_h)<0f(xh )<0，并且( x i + 1 − x i ) (x_{i+1}-x_i)(xi+1 −xi )是始终大于0的。
2. 牛顿-莱布尼兹公式
如果f ( x ) f(x)f(x)是定义在闭区间[ a , b ] [a,b][a,b]上的可微函数，那么就有：
∫ a b f ′ ( t ) d t = f ( b ) − f ( a ) \int^b_a f'(t)dt=f(b)-f(a)∫ab f′(t)dt=f(b)−f(a)
⚠️上式为定积分形式，无常数项，有具体的范围，单纯地表示y = f ( x ) y=f(x)y=f(x)围成的图形的面积，是一个具体的数值。
👉不定积分的形式（无特定范围，需要一个常数项）：
∫ f ′ ( t ) d t = f ( x ) + C \int f'(t)dt=f(x)+C∫f′(t)dt=f(x)+C
❗️牛顿-莱布尼兹公式展示了微分与积分的基本关系：在一定程度上微分与积分互为逆运算。
2.1. 几何意义
根据1.1部分，∫ a b f ′ ( x ) d x \int ^b_a f'(x)dx∫ab f′(x)dx可以理解为函数与x轴之间的有向面积，即所有矩形面积的和。其中矩形的高为f ′ ( x ) f'(x)f′(x)，宽为d x dxdx，单个矩形的面积为f ′ ( x ) d x f'(x)dxf′(x)dx，根据微分的相关知识可知d y = f ′ ( x ) d x dy=f'(x)dxdy=f′(x)dx，即每个矩形的面积对应着原函数f ( x ) f(x)f(x)中d x dxdx所对应的增量d y dydy，那么从a到b所有矩形的面积之和也就对应着f ( x ) f(x)f(x)从a到b的函数值增量之和，即f ( b ) − f ( a ) f(b)-f(a)f(b)−f(a)。因此有：
∫ a b f ′ ( t ) d t = f ( b ) − f ( a ) \int^b_a f'(t)dt=f(b)-f(a)∫ab f′(t)dt=f(b)−f(a)
2.2. 分部积分法
设u = u ( x ) u=u(x)u=u(x)及v = v ( x ) v=v(x)v=v(x)是两个关于x xx的函数。
根据求导法则有：
( u ( x ) ⋅ v ( x ) ) ′ = u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) (u(x)\cdot v(x))'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)(u(x)⋅v(x))′=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)
对等式两边同时求不定积分：
∫ ( u ( x ) ⋅ v ( x ) ) ′ d x = ∫ u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) d x + ∫ u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) d x \int (u(x)\cdot v(x))' dx=\int u'(x)\cdot v(x) dx+ \int u(x)\cdot v'(x) dx∫(u(x)⋅v(x))′dx=∫u′(x)⋅v(x)dx+∫u(x)⋅v′(x)dx
化简：
u ( x ) ⋅ v ( x ) = ∫ u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) d x + ∫ u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) d x u(x)\cdot v(x)=\int u'(x)\cdot v(x) dx+ \int u(x)\cdot v'(x) dxu(x)⋅v(x)=∫u′(x)⋅v(x)dx+∫u(x)⋅v′(x)dx
通常写为：
∫ u ( x ) ⋅ v ′ ( x ) d x = u ( x ) ⋅ v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) d x \int u(x)\cdot v'(x) dx = u(x)\cdot v(x)-\int u'(x)\cdot v(x) dx∫u(x)⋅v′(x)dx=u(x)⋅v(x)−∫u′(x)⋅v(x)dx
上式即为分部积分法，可简写为：
∫ u v ′ d x = u v − ∫ v u ′ d x \int uv' dx=uv-\int vu' dx∫uv′dx=uv−∫vu′dx
其中v ′ = d v d x , u ′ = d u d x v'=\frac{dv}{dx},u'=\frac{du}{dx}v′=dxdv ,u′=dxdu ，带入上式可得：
∫ u d v = u v − ∫ v d u \int udv=uv-\int v du∫udv=uv−∫vdu
这是分部积分法的另一种表现形式。
2.3. 例题
2.3.1. 例题1
∫ ln x d x = ∫ d ( x ln x ) − ∫ x d ( ln x ) = x ln x + C 1 − ∫ x ⋅ 1 x d x = x ln x + C 1 − ∫ 1 d x = x ln x + C 1 − ( x + C 2 ) = x ln x − x + C \begin{align*} \int \ln x dx & = \int d(x\ln x) - \int x d(\ln x) \ & = x\ln x+C_1 - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \ & = x\ln x+C_1 - \int 1 dx \ & = x\ln x+C_1 - (x+C_2) \ & = x\ln x -x + C \end{align*}∫lnxdx =∫d(xlnx)−∫xd(lnx)=xlnx+C1 −∫x⋅x1 dx=xlnx+C1 −∫1dx=xlnx+C1 −(x+C2 )=xlnx−x+C
2.3.2. 例题2
👉换元法的使用：
∫ 0 ln 3 e x 1 + e x d x = ∫ 0 ln 3 1 + e x d ( e x ) = ∫ 0 ln 3 1 + e x d ( 1 + e x ) = ∫ 0 ln 3 ( 1 + e x ) 1 2 d ( 1 + e x ) = 2 3 ( 1 + e x ) 3 2 ∣ 0 ln 3 = 2 3 [ 8 − 2 2 ] \begin{align*} \int^{\ln 3}_0 e^x \sqrt{1+e^x}dx & = \int^{\ln 3}_0 \sqrt{1+e^x}d(e^x) \ & = \int^{\ln 3}_0 \sqrt{1+e^x} d(1+e^x) \ & = \int^{\ln 3}_0 (1+e^x)^{\frac{1}{2}} d(1+e^x) \ & = \frac{2}{3} (1+e^x)^{\frac{3}{2}} | ^{\ln 3}_0 \ & = \frac{2}{3} [8-2\sqrt{2}] \end{align*}∫0ln3 ex1+ex dx =∫0ln3 1+ex d(ex)=∫0ln3 1+ex d(1+ex)=∫0ln3 (1+ex)21 d(1+ex)=32 (1+ex)23 ∣0ln3 =32 [8−22 ]
2.3.3. 例题3
计算x − α x^{-\alpha}x−α的不定积分。
当α ≠ 1 \alpha \neq 1α=1时：
∫ 1 x α d x = 1 ( 1 − α ) x α − 1 + C \int \frac{1}{x^{\alpha}} dx=\frac{1}{(1-\alpha)x^{\alpha -1}}+C∫xα1 dx=(1−α)xα−11 +C
当α = 1 \alpha =1α=1时：
∫ 1 x α d x = ∫ 1 x d x = ln x + C \int \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \int \frac{1}{x} dx=\ln x+C∫xα1 dx=∫x1 dx=lnx+C
3. 多变量函数的积分
∫ c d ∫ a b f ( x , y ) d x d y \int^d_c \int^b_a f(x,y)dxdy∫cd ∫ab f(x,y)dxdy
依次从里向外积分即可。
⚠️二重积分的几何意义是积分函数与X-Y坐标平面之间部分的有向体积。