两阶段进化算法在约束多目标优化中的应用与理论分析
两阶段进化算法在约束多目标优化中的应用与理论分析
约束多目标优化问题（CMOPs）广泛存在于工程设计、资源调度等领域。传统优化算法在处理此类问题时，往往面临收敛速度慢、多样性不足等挑战。本文介绍一种基于两阶段框架的进化算法（C-TSEA），通过分阶段策略有效平衡约束满足与目标优化，在多个基准测试中展现出优异性能。
一、引言
约束多目标优化问题（CMOPs）广泛存在于工程设计、资源调度等领域。传统优化算法在处理此类问题时，往往面临收敛速度慢、多样性不足等挑战。本文介绍一种基于两阶段框架的进化算法（C-TSEA），通过分阶段策略有效平衡约束满足与目标优化，在多个基准测试中展现出优异性能。
二、理论基础
（一）问题定义
CMOPs的数学模型为：
{ Minimize F ( x ) = ( f 1 ( x ) , … , f m ( x ) ) T subject to x ∈ S g i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , … , p h j ( x ) = 0 , j = p + 1 , … , q \begin{cases} \text{Minimize} & F(x) = (f_1(x), \dots, f_m(x))^T \ \text{subject to} & x \in \mathbb{S} \ & g_i(x) \leq 0, \quad i=1,\dots,p \ & h_j(x) = 0, \quad j=p+1,\dots,q \end{cases}⎩⎨⎧ Minimizesubject to F(x)=(f1 (x),…,fm (x))Tx∈Sgi (x)≤0,i=1,…,phj (x)=0,j=p+1,…,q
其中，约束违反度定义为：
C V ( x ) = ∑ i = 1 p max { 0 , g i ( x ) } + ∑ j = p + 1 q max { 0 , ∣ h j ( x ) ∣ − η } CV(x) = \sum_{i=1}^p \max{0, g_i(x)} + \sum_{j=p+1}^q \max{0, |h_j(x)| - \eta}CV(x)=i=1∑p max{0,gi (x)}+j=p+1∑q max{0,∣hj (x)∣−η}
η \etaη为松弛因子（本文取1 0 − 4 10^{-4}10−4）。
（二）两阶段框架设计
阶段一：无约束优化
目标：逼近无约束帕累托前沿（PF）
策略：使用ARMOEA算法生成种群，记录可行解到档案库
档案更新策略：
优先保留可行解
按约束违反度升序排序补充非可行解
基于约束支配原则（CDP）维持多样性
阶段二：约束优化
目标：搜索约束帕累托前沿（CPF）
策略：以档案库为初始种群，采用改进的SPEA2算法
约束支配原则：
x ≺ C y ⟺ ( C V ( x ) < C V ( y ) ) ∨ ( C V ( x ) = C V ( y ) ∧ x ≺ y ) x \prec_C y \iff (CV(x) < CV(y)) \lor (CV(x) = CV(y) \land x \prec y)x≺C y⟺(CV(x)<CV(y))∨(CV(x)=CV(y)∧x≺y)
（三）性能评估指标
- 改进IGD+：
I G D + ( Z , A ) = 1 ∣ Z ∣ ∑ z j ∈ Z min a i ∈ A ∑ k = 1 m max { a i k − z j k , 0 } 2 IGD^+(\mathcal{Z}, \mathcal{A}) = \frac{1}{|\mathcal{Z}|} \sum_{z_j \in \mathcal{Z}} \min_{a_i \in \mathcal{A}} \sqrt{\sum_{k=1}^m \max{a_i^k - z_j^k, 0}^2}IGD+(Z,A)=∣Z∣1 zj ∈Z∑ ai ∈Amin k=1∑m max{aik −zjk ,0}2
2.超体积（HV）：
H V ( A ) = VOL ( ⋃ a ∈ A [ a 1 , z 1 r ] × ⋯ × [ a m , z m r ] ) HV(\mathcal{A}) = \text{VOL}\left(\bigcup_{a \in \mathcal{A}} [a_1, z^r_1] \times \dots \times [a_m, z^r_m]\right)HV(A)=VOL(a∈A⋃ [a1 ,z1r ]×⋯×[am ,zmr ])
三、算法流程
（一）阶段一：无约束优化
种群初始化：随机生成初始解
进化操作：
交叉变异：SBX交叉（p c = 1 , η c = 20 p_c=1, \eta_c=20pc =1,ηc =20）
多项式变异（p m = 1 / n , η m = 20 p_m=1/n, \eta_m=20pm =1/n,ηm =20）
- 档案更新：
收集所有可行解
按约束违反度补充非可行解
基于拥挤距离保持多样性
（二）阶段二：约束优化
种群初始化：使用阶段一的档案库
约束处理：
采用约束支配排序
基于SPEA2的环境选择
- 终止条件：达到最大迭代次数
四、实验分析
（一）实验设置
测试集：5个基准测试集（C-DTLZ, DC-DTLZ, MW, DAS-CMOP, CF）共57个实例
对比算法：NSGA-II-ToR, TiGE-2, MOEA/D-DAE等7种先进算法
（二）关键结果分析
算法 平均IGD+排名 平均HV排名
C-TSEA 3.375 3.339
SPEA2-CDP 7.393 7.411
MOEA/D-DAE 5.750 5.786
（三）典型案例分析
案例1：MW5问题
问题特点：PF与CPF存在几何分离
实验结果：C-TSEA成功覆盖所有可行区域，IGD+值为1.54e-2，优于其他算法
案例2：DAS-CMOP4问题
问题特点：包含复杂约束组合
实验结果：C-TSEA收敛至CPF，HV值较对比算法提升23%
五、创新点与优势
阶段分工明确：
阶段一专注目标优化，阶段二专注约束处理
档案库机制实现知识传递
多样性保持：
基于拥挤距离的环境选择
约束违反度引导的搜索方向
通用性验证：
在57个测试实例中，C-TSEA在42个实例上表现最优
对不同约束类型（等式/不等式）均有效
六、结论与展望
C-TSEA通过两阶段策略有效处理约束多目标优化问题，在收敛性和多样性上表现突出。未来可进一步研究：
动态阶段切换机制
结合机器学习的约束处理技术
扩展至多目标优化问题（CMaOPs）
参考文献
[1] Ming F, Gong W, Zhen H, et al. A simple two-stage evolutionary algorithm for constrained multi-objective optimization[J]. Knowledge-Based Systems, 2021, 228: 107263.
[2] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, 6(2): 182-197.
[3] Zitzler E, Laumanns M, Thiele L. SPEA2: Improving the strength Pareto evolutionary algorithm[J]. TIK-report, 2001, 103.
本文研究成果基于《Knowledge-Based Systems》期刊论文，完整实验数据可通过作者邮箱获取。