概率论 - 常见分布（及其分布表）

概率论 - 常见分布（及其分布表）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_46072771/article/details/105618461

概率论中的分布是统计学和数据分析的基础，本文将介绍常见的离散型分布、连续型分布以及一些特殊的分布。

离散型分布

1. 0-1分布

0-1分布是最简单的离散分布，实验只有两种可能的结果，成功或失败。设成功的概率为p，则失败的概率为1-p。

• 概率质量函数：$P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k}$
• 数学期望：$E(X) = p$
• 方差：$Var(X) = p(1-p)$

2. 几何分布

几何分布描述的是在一系列独立的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数。设每次试验成功的概率为p。

• 概率质量函数：$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$
• 数学期望：$E(X) = \frac{1}{p}$
• 方差：$Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$

3. 二项分布

二项分布描述的是在n次独立的伯努利试验中，成功次数的概率分布。设每次试验成功的概率为p。

• 概率质量函数：$P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$
• 期望：$E(X) = np$
• 方差：$Var(X) = np(1-p)$
• 最可能值：
• 当$(n+1)p$不为整数时，二项概率$P{X=k}$在$k=[(n+1)p]$时达到最大值；
• 当$(n+1)p$为整数时，二项概率$P{X=k}$在$k=(n+1)p$和$k=(n+1)p-1$时达到最大值。

重点：
若满足二项分布$X \sim B(n, p)$，其中n足够大（$n≥100$），且$np≤10$时，可以将其近似于泊松分布$X \sim P(np)$【$\lambda = np$】，然后在查表就可以了。

4. 泊松分布

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

• 记作：$X \sim P(\lambda)$
• 数学期望：$E(X) = \lambda$
• 方差：$Var(X) = \lambda$

泊松分布表：

5. 超几何分布

超几何分布描述的是在有限总体中进行不放回抽样时，抽到的指定类型个体数的概率分布。设总体中有N个元素，其中M个属于第1类，N-M个属于第2类，从中取出n个，在取出的n个中有X=k个属于第1类。

• 记作：$X \sim H(n,M,N)$
• 重点：
  当N很大，n相对N很小时，可近似为二项分布$X \sim B(n, M/N)$。再从二项分布近似为泊松分布就可以查表了。

连续型分布

1. 均匀分布

均匀分布描述的是在某个区间内，每个值出现的概率都相等的情况。例如等车时间。

• 数学期望：$\frac{a + b}{2}$
• 方差：$\frac{(b - a)^2}{12}$

2. 指数分布

指数分布常用于描述事件发生的时间间隔，具有无记忆性。

• 数学期望：$\frac{1}{\lambda}$
• 方差：$\frac{1}{\lambda^2}$

无记忆性：

3. 正态分布与标准正态分布

正态分布是连续型分布中最重要的一种，其概率密度函数呈钟形曲线。

• 普通正态分布转化为标准正态分布：

• 标准正态分布查表：

特殊分布

1. 卡方分布

卡方分布常用于统计假设检验中，特别是在检验样本方差是否等于假设方差时。

• 查表（x：α值，y：n自由度）

2. t 分布

t分布用于小样本数据的统计推断，特别是在总体方差未知时。

• 查表：
• 传送门1：完整的 t分布表（推荐）
• 传送门2：分单双侧的 t分布

3. F 分布

F分布常用于方差分析（ANOVA）中，用于检验两个总体方差是否相等。

• 查表：
• 传送门：完整的 F分布表