Gamma分布的转化及其相关分布

Gamma分布的转化及其相关分布

Gamma分布是一类重要的连续概率分布，广泛应用于统计学、工程学和物理学等领域。本文将详细介绍Gamma分布的定义及其与Erlang分布、指数分布和卡方分布之间的转化关系。

Gamma分布

Gamma分布由两个参数α和β决定，其中α和β均大于零。令λ=1/β，假设随机变量X的概率密度函数满足：

就说X服从参数为(β,α)的Gamma分布，记为Γ(β,α)。Gamma分布的两个参数中，第一个β决定了形状(shape)，第二个参数α决定了尺度(scale)。

如上图所示，k即是α，θ即是β；Gamma分布的期望E=β/α，方差D=β/(α*α)。Gamma分布的曲线通常呈现一个峰值，且左右不对称。当α值较大时，Gamma分布的曲线会接近正态分布。

Erlang分布

当β为正整数n时，那么λ=1/n，Γ(n,α)满足Erlang分布。Erlang分布经常用来表示独立随机事件发生的时间间隔。例如，一个车站从第一辆车到达，直到恰好有n辆车到达所需要的时间分布。

Erlang分布有两个参数：k表示阶数(stage)，μ表示均值。其概率密度函数为：

指数分布

当β=1时，Γ(1,α)表示参数为α的指数分布exp(α)。指数分布也经常用来表示独立随机事件发生的间隔，例如电子产品的寿命分布一般服从指数分布。

指数分布不具备记忆性，如果一个人活了六十年，他再活十年的概率和一个十岁的孩子再活十年的概率，通常来说后者要高得多，这种情况就是记忆性的体现，不可能服从指数分布。

其概率密度函数为：

卡方分布

当α=n/2，β=1/2时，Γ(n/2,1/2)即是χ2分布（卡方分布）。卡方分布是统计学中非常重要的一种分布，它描述了n个相互独立的随机变量，均服从正态分布时，这n个随机变量的平方和构成的新随机变量的分布规律。

卡方分布曲线下总面积为1，x取负值没有意义。其概率密度函数为：