数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分

数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分

泰勒公式是数学和物理领域的重要工具，它可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。本文将详细介绍泰勒公式的定义、性质及其在数值积分中的应用。

泰勒(Taylor)公式大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。ƒ(x)在x=a处的泰勒展开式为：

注意，等号右边是无穷多项。特别地，当a=0时，又叫麦克劳林(Maclaurin)展开式。

函数展开与图像逼近

让我们看几个具体的函数展开例子：

1. ƒ(x)=e^x在x=0处的展开

可以看到，随着展开多项式的项数增加，得到的图像与原函数e^x越来越接近。

2. ƒ(x)=cosx在x=0处的展开

同样地，展开多项式的项数越多，得到的图像与原函数cosx越接近。

误差分析与有限项展开

在实际应用中，我们不可能使用无穷多项进行展开，因此通常将泰勒级数写成有限项Pn(x)和余项Rn(x)之和：

ƒ(x)=Pn(x)+Rn(x)

例如：

其中c介于0和x之间。对于一个正常数M，有：

例如M=1时：

算例：数值积分应用

1. 求积分

要求误差小于0.001：

展开得：

x=1代入：

如果要求误差小于10^-6, 则保留前五项：

泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。