探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

向心力是物理学中的一个重要概念，它描述了物体在圆周运动中所受的力。本文将通过一个具体的实验装置，探究向心力大小与半径、角速度、质量之间的关系。

实验思路

1. 实验思路

本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了控制变量法，如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内(指向圆周运动的圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过标尺上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值。

在实验过程中可以通过两个小球同时做圆周运动对照，分别分析下列情形：

• 在 质量、半径一定的情况下，探究向心力大小与角速度的关系.
• 在质量、角速度一定的情况下，探究向心力大小与半径的关系.
• 在半径、角速度 一定的情况下，探究向心力大小与质量的关系.

2. 实验器材

向心力演示器、小球.

3. 实验过程

• 分别将两个质量相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相同.将皮带放置在适当位置使两转盘转动，记录不同角速度下的向心力大小(格数).
• 分别将两个质量 相等的小球放在实验仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等 ，小球到转轴(即圆心)距离不同，即圆周运动半径不等，记录不同半径的向心力大小(格数).
• 分别将两个质量不相等的小球放在实验仪器的两个小槽中，且小球到转轴(即圆心)距离相同，即圆周运动半径相等，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等，记录不同质量下的向心力大小(格数).

4. 数据处理

分别作出 Fn－ω^2 、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论.

5. 注意事项

摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数.达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数.

例题

例1用如图所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动.横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值.实验用球分为钢球和铝球，请回答相关问题：

(1)在某次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相等，将皮带处于左、右塔轮的半径不等的层上.转动手柄，观察左右标尺的刻度，此时可研究向心力的大小与____ 的关系.

A.质量m B.角速度ω C.半径r

(2)在(1)的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出4个格，右边标尺露出1个格，则皮带连接的左、右塔轮半径之比为___;其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则左、右两标尺的示数将___，两标尺示数的比值__(均选填“变大”“变小”或“不变”).

解：(1)把两个质量相等的钢球放在A、C位置时，则控制质量相等、半径相等，研究的目的是向心力的大小与角速度的关系，故选B.

(2)由题意可知左、右两球做圆周运动所需的向心力之比为 ${F}{\text{左}}:{F}{\text{右}}=4:1$ ，

则由 $F=mr{\omega }^{2}$ ，可得 $\frac{{\omega }{\text{左}}}{{\omega }{\text{右}}}=2$ ，

由 $v=R\omega$ 可知，皮带连接的左、右塔轮半径之比为 ${R}{\text{左}}:{R}{\text{右}}={\omega }{\text{右}}:{\omega }{\text{左}}=1:2$ ，其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则角速度均增大，由 $F=mr{\omega }^{2}$ ，可知左、右两标尺的示数将变大，但半径之比不变，$\text{由}\frac{{R}{\text{右}}}{{R}{\text{右}}}=\frac{{\omega }{\text{右}}}{{\omega }{\text{左}}}\text{知, 角速度比值不变, 两标尺的示数比值不变.}$

例2如图所示是“DIS向心力实验器”，当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋转臂另一端的挡光杆(挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R)每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力大小F和角速度ω的数据.

(1)某次旋转过程中挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝

(2)以 $F$ 为纵坐标，以 ___ (选填 $\mathrm{\Delta }t$ 或 $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$ 或 $\left(\mathrm{\Delta }t{\right)}^{2}$ 或 $\frac{1}{\left(\mathrm{\Delta }t{\right)}^{2}}$ )为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝___ .(用上述已知量的字母表示)

解析：（1）

挡光杆通过光电门时的线速度大小为 $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$, 由 $\omega =\frac{v}{R}$, 解得 $\omega =\frac{\mathrm{\Delta }s}{R\mathrm{\Delta }t}$

（2）根据向心力公式有 $F=m{\omega }^{2}r$, 将 $\omega =\frac{\mathrm{\Delta }s}{R\mathrm{\Delta }t}$, 代入上式解得 $F=m\frac{\left(\mathrm{\Delta }s{\right)}^{2}}{{R}^{2}\left(\mathrm{\Delta }t{\right)}^{2}}r$,可以看出, 以 $\frac{1}{\left(\mathrm{\Delta }t{\right)}^{2}}$ 为横坐标, 以 $F$ 为纵坐标, 可在坐标纸中描出数据点作一条直线, 该直线的斜率为 $k=m\frac{\left(\mathrm{\Delta }s{\right)}^{2}}{{R}^{2}r}$.

例3某同学为了测量当地的重力加速度，设计了一套如图甲所示的实验装置.拉力传感器竖直固定，一根不可伸长的细线上端固定在传感器的固定挂钩上，下端系一小钢球，钢球底部固定有遮光片，在拉力传感器的正下方安装有光电门，钢球通过最低点时遮光片恰能通过光电门.小明同学进行了下列实验步骤：

(1) 用游标卡尺测量遮光片的宽度 $d$ ，如图乙所示，则 $d=$

(2)用游标卡尺测量小钢球的直径为D，用刻度尺测量小钢球到悬点的摆线长为l；

(3)拉起小钢球，使细线与竖直方向成不同角度，小钢球由静止释放后均在竖直平面内运动，记录遮光片每次通过光电门的遮光时间Δt和对应的拉力传感器示数F；

(4)根据记录的数据描绘出如图所示的 $F-\frac{1}{\left(\mathrm{\Delta }t{\right)}^{2}}$ 图像，已知图像与纵轴交点为 $a$ ，图像斜率为 $k$ ，则通过以上信息可求出当地的重力加速度表达式为$g=$ 用题目中所给物理量的符号表示

(5)如果在实验过程中所系的细线出现松动，则根据实验数据求出的当地重力加速度g的值比实际值___ (选填“偏大”“偏小”或“不变”).

解：（1）遮光片的宽度为 $d=12mm+7×0.05mm=12.35mm$.

（4）在最低点，根据牛顿第二定律得

$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{{\left(\frac{d}{\mathrm{\Delta }t}\right)}^{2}}{\frac{D}{2}+l},$

解得 $F=\frac{2m{d}^{2}}{D+2l}{\left(\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\right)}^{2}+mg,$ 则有 $\frac{2m{d}^{2}}{D+2l}=k,a=mg$，所以有 $g=\frac{a}{m}=\frac{2a{d}^{2}}{k\left(D+2l\right)}$.

（5）如果在实验过程中所系的细线出现松动，则摆长真实值变大，则根据实验数据求出的当地重力加速度g的值比实际值偏大.

本文原文来自kmath.cn