边长是1:1:1:2的特殊等腰梯形的性质探究

边长是1:1:1:2的特殊等腰梯形的性质探究

本文将探讨一种特殊的等腰梯形，其边长比为1:1:1:2。通过详细的几何证明，我们将揭示这种等腰梯形在底边中点、中点四边形以及对角线等方面的独特性质。

图1.1.1——一种等腰梯形

如图1.1.1，等腰梯形ABCD是边长为1:1:1:2的等腰梯形，AB:BC:AD:BC=1:1:1:2.

图1:1:1:2——各边边长

一、关于其底边中点的结论：

图1.2.1——底边中点

如图1.2.1所示，点E是等腰梯形ABCD的底CD的中点，AB:BC:AD:BC=1:1:1:2，则有以下结论：

1.连接AE、BE，则构成的△DEA、△AEB、△EBC都是等边三角形；

图1.2.2

如图1.2.2，连接AE、BE，证△DAE、△AEB，△EBC都是等腰三角形.

证：
∵有E是CD中点
∴（由中点性质得）DE=CE=CD/2
∵有AB:AD:BC:CD=1:1:1:2
∴可得AB:AD:BC:DE:CE=1:1:1:1:1
∴（由比例的性质得）AB=AD=BC=DE=CE
∴（由等边三角形判定得）△DAE、△AEB，△EBC都是等腰三角形
证明完成.

2.点E是等腰梯形ABCD的外接圆圆心；

图1.2.3——外接圆

如图1.2.2，在等腰梯形ABCD中，AB:BC:AD:CD=1:1:1:2，点E是等腰梯形ABCD的底边CD的中点，证点E是等腰梯形DABC的外接圆圆心.

证：

图1.2.4

连接AE、BE，使其如图1.2.4所示
由结论“一（1）”得，△DEA、△AEB、△EBC都是等边三角形
∴（由等边三角形性质得）DE=AE=BE=CE
∴圆ABC（CE）是等腰梯形DABC的外接圆
∴点E是等腰梯形DABC的外接圆圆心
证明完毕.

3.点E是等腰梯形DABC的内切圆圆心；

图1.2.5

如图，点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、AD的中点，以点E为圆心到点F作圆GFH，证点E是等腰梯形ABCD的内切圆圆心.

证：

图1.2.6

连接EG、AE、EF、BE、EH，如图1.2.6所示
由结论“一（1）”得，△ADE、△ABE、△BEC都是等边三角形
∴（由等边三角形性质得）AE=BE=CE
∵点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、AD的中点
∴（由三角形中线的定义得）EG、EF、EH分别是△AED、△ABE、△BCE的中线，（由中点性质得）AG=AD/2，BF=AB/2，CH=BC/2
∵等边三角形是特殊的等腰三角形
∴（由等腰三角形三线合一的性质得）EG⊥AD，EF⊥AB，EH⊥BC
∴∠AGE=∠BFE=∠CHE=90°
由结论“一（2）”得，DE=AE=BE=CE
∵有AB:BC:AD:CD=1:1:1:2
∴（由比例的性质得）AB=AD=CD
∴有AG=AD/2=BF=AB/2=CH=BC/2
∴AG=BF=CH
∵有AG=BF=CH，∠AGE=∠BFE=∠CHE=90°，AE=BE=CE
∴（由全等三角形判定得）△AGE≌△BFE≌△CHE
∴（由全等三角形性质得）EG=EF=EH
∵有EG=EF=EH，EG⊥AD，EF⊥AB，EH⊥BC，F位于圆GFH上
∴AD、AB、BC是圆GFH的切线
∴圆GFH是等腰梯形ABCD的内切圆
∴点E是等腰梯形ABCD的内切圆圆心
证明完毕.

二、关于其中点四边形的结论：

图1.3.1——其中点四边形

（关于中点四边形的结论可参考个人前发布内容cv33780555）
如图1.3.1所示，点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、AD的中点，连接点E、F、G、H，则有以下结论：
1.四边形EFGH是菱形（证明在个人前发布内容cv33780555）；
2.连接EG，则△GHE≌△GFE且△GHE、△GFE都是等边三角形；

图1.3.2

如图1.3.2所示，四边形ABCD是等腰梯形，AB:AD:BC:CD=1:1:1:2，点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、AD的中点，连接点E、F、G、H，连接EG，证△GHE≌△GFE且△GHE、△GFE都是等边三角形：

证：
①△GHE≌△GFE
由结论“二（1）”得，四边形EFGH是菱形
∴（由菱形性质得）GH=GF=EH=EF
∵有GH=GF，EH=EF，GE=GE
∴（由全等三角形判定得）△GHE≌△GFE
②△GHE、△GFE都是等边三角形
由结论“一（3）”得EG=EF=EH
∴有GH=GF=EH=EF=EG
∴（由等边三角形判定得）△GHE、△GFE都是等边三角形
证明完毕.

三、关于其对角线的结论：

图1.4.1

如图1.4.1所示，四边形ABCD是等腰梯形，AB:BC:AD:BC=1:1:1:2，连接AC、BD，则有以下结论（不给出证明）：
1.△ADC≌△BCD，且∠DAC=∠CBD=90°
2.△AOD≌△BOC
3.△AOB∽△COD且AO=BO，CO=DO
4.∠ACD=∠BDC=∠DCA=∠CDB=∠ADB=∠BCA=30°

四、作其他图形后的示意图（无结论无证明）：

图1.5.1

如图1.5.1所示，等腰梯形ABCD是等腰梯形，AB:AD:BC:CD=1:1:1:2，点E、F、G、H分别是CD、AB、AD、BC的中点，连接AE、BE、EH、FH、FG、EG，连接AC、BD，AC交BE于点Q，BD交AE于点P，FH交BE于点J，FH交BD于点L，FG交AE于点I，FG交AC于点K，EG交BD于点M，EH交AC于点N，连接EF、GH，EF交AC、BD于共点O，EF、GH交于共点R，延长AD、BC于点S，以O为圆心至点E作圆，以R为圆心至点E作圆，以E为圆心至点O作圆，以O为圆心至点S作圆，以F为圆心至点S作圆，以M为圆心至点G作圆，以N为圆心至点H作圆，以F为圆心至点R作圆，以F为圆心至点O作圆，连接FS交圆FR于点T、交圆OE、圆FO于点U，延长SF交圆EO、圆OS于点V，连接MV、NV、MN，MN交SV于点W，以E为圆心至点W.