傅里叶变换详解：从基础知识到实际应用
傅里叶变换详解：从基础知识到实际应用
简介
傅里叶变换是数学分析中的核心工具，广泛应用于信号处理、量子力学、热传导等领域。本文将从基础知识出发，逐步深入讲解傅里叶变换的原理和应用。
基础知识
内积
内积（Inner Product）是线性代数、函数空间及物理学中的一个核心概念，用于衡量两个向量（或函数）之间的“夹角”和“相似性”。它在几何上表现为投影，在分析中用于定义正交性、长度和距离。
向量空间中的内积：在实数向量空间中，两个向量的内积定义为：
函数空间中的内积：在函数空间中，两个实函数的内积定义为：
对于复函数：
标准正交基
标准正交基，是线性代数和函数分析中的核心概念，它同时满足正交性和单位长度两个条件，为向量空间和函数空间提供了简洁、高效的表示方法。
给定向量空间（如或函数空间），一组基称为标准正交基，若满足：
- 正交性：任意两个不同基向量的内积为零
- 单位长度：每个基向量的范数为 1
变换与反变换
"变换"和"反变换"是数学、信号处理、图像处理等领域中非常重要的概念，它们描述了一种将数据从一种形式或空间转换到另一种形式或空间的过程，以及从目标空间返回原始空间的过程。
- 变换：将一个函数、信号或数据集从一个域（或空间）映射到另一个域（或空间）。
- 反变换：将数据从目标域（或空间）映射回原始域（或空间）。
详细讲解，请见下图：
图左中的A向量和B向量可以分别变成图右中的一组数，这个过程我们称为“变换”。
而图右中的一组数也可以变成图左中的A向量和B向量，这个过程我们成为“逆变换”。
同理，如下图所示：
图左中以A向量和B向量为邻边的所构成的平行四边形中的C点，与图右中的C点相对应，可以相互变换。
因此，在图形中不好处理的一些问题，也许在数值上会很好处理。
同时，上述所提到的，在图右中的两个数，实际上可以理解为：图左坐标系中x方向上单位向量的个数，y方向上单位向量的个数。
例如：A（2，1）可以理解为在x方向上有2个单位长度，在y轴上有1个单位长度。
同时，x方向上的单位向量与y方向上的单位向量具有以下特性：
即与自身的内积为1，与他者的内积为0。
傅里叶级数
概念
傅里叶级数是数学分析中的核心工具，用于将周期性函数分解为一系列简单正弦波和余弦波的叠加。它由法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在19世纪提出，现广泛应用于信号处理、量子力学、热传导等领域。
为了方便大家理解，下图均取自网络（图片均标有出处，请大家尊重原创）：
由上图可知：周期性函数可以分解为一系列简单正弦波和余弦波的叠加。
从而由周期函数得到多个正弦波和余弦波。
并且可以获得信号中包含的频率，频域图像（各频率下的振幅，即傅里叶变换）和相位谱（各频域下的初相位）。
同理，如果知道信号中包含的频率，频域图像和相位谱，同样可以得到正余弦信号叠加后的周期函数图像。
因此，上述过程可以理解为上文提到的变换与逆变换。
数学定义
对于周期为的函数，其傅里叶级数展开为：
其中：
- 为直流分量（函数在一个周期内的平均值）
- 和为各频率分量的振幅系数
正交基
（1）正交基的定义
一组函数在给定的内积定义下如果满足两两之间的内积为零（即正交），并且每个函数与自身的内积（即范数的平方）不为零，那么这组函数可以构成一个正交基。
（2）常用的内积定义
由上文可知，对于周期为的函数，通常定义内积为：
（3）验证正交性
我们需要验证以下函数两两之间的正交性：
（常数函数）
其中是正整数。
以下是详细计算：
（4）总结
傅里叶级数的基函数组：
利用函数、和常数在区间上的正交性，在区间上构成正交函数系，并满足以下正交关系：
系数计算公式
（1）求
对傅里叶级数两边在上积分：
由于余弦和正弦的积分均为零，得到：
（2）求
两边乘以后积分：
仅当时，余弦积分非零，因此：
（3）求
类似地，两边乘以后积分：
仅当时，正弦积分非零，
因此：
（4）总结
通过函数与基函数的内积投影得到系数：
和分别表示函数中频率为的余弦和正弦分量的强度。
若为偶函数（对称），则所有；若为奇函数（反对称），则所有（奇函数与偶函数的乘积是奇函数）。
物理意义
频域分解：将复杂周期信号分解为不同频率的正弦/余弦分量。
傅里叶变换
直观理解
直观理解
想象一段音乐：
- 时域：你看到的是音量随时间变化的波形（如波形图）
- 频域：你看到的是这首歌由哪些频率的音符组成（如钢琴的琴键分布）
傅里叶变换就是把波形图变成琴键分布的工具！
概念
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学工具，用于分析信号或函数在不同频率下的成分。它是一种积分变换，可以将一个时间（或空间）域的函数转换为频率域的函数。傅里叶变换的基本思想是，任何周期性或非周期性的函数都可以表示为不同频率的正弦波和余弦波的无限和。
为了方便大家理解，下图均取自网络（请大家尊重原创）
由上图可知：
在复平面空间中，圆上的任意一点都可以由欧拉公式来表达。
欧拉公式中的和可以理解为我们上面所讨论的傅里叶级数中的一组正交基。
而我们可以看成
即可以看作单位圆上的一点绕原点逆时针转动，每时刻所形成的一组正交基组合。
可以看作单位圆上的一点绕原点顺时针转动，每时刻所形成的一组正交基组合。
再如下图所示：
图左是非周期信号示例，我们可以将它看作是一个周期为无穷大的周期函数,该函数也一定可以分解成多组频率不同的信号。
分解方法如图右所示，通过与做内积来分解出不同频率下的信号，当中不含某频率下的信号时，结果为0。反之，则不为0。
详细解释如下：
而上述内容便是傅里叶变换整个过程。
为了更好地理解，请见下图：
于是分解得到的信号中，频率，频域图像（各频率下的振幅）和相位谱（各频域下的初相位）都是连续的。
数学定义
傅里叶变换：对于非周期函数，傅里叶变换将其分解为连续的频率成分。傅里叶变换的结果是一个函数，描述了原函数在每个频率上的成分强度。
关键思想
分解信号：把信号拆解成不同频率的正弦波
检测成分：通过积分（内积）计算信号与每个频率波的“匹配程度”
如果信号包含频率，则不为零
如果不包含，则
类比：用筛子过滤沙子
时域信号 → 一堆混合的沙子（不同频率混杂）
傅里叶变换 → 用不同孔径的筛子（不同频率）过滤沙子
筛出某粒度的沙子 → 信号含有该频率
筛不出 → 信号不含该频率
傅里叶变换应用
（1）分析频率成分
比如：找出音频中的噪音频率，或EEG信号中的脑波节律
（2）滤波处理
去掉不想要的频率（如去除50Hz电源干扰）
（3）压缩数据
JPEG图片、MP3音乐都用了傅里叶变换的变种（DCT、MDCT）
总结
傅里叶变换：将信号从“时间-幅度”表示转换为“频率-能量”表示
核心操作：用复指数函数对信号做扫描，提取频率成分
应用场景：信号处理、图像分析、通信、量子力学等几乎所有科学领域
简而言之，傅里叶变换是信号的“频率显微镜”，让我们能看到隐藏在杂乱波形中的规律！
本文部分内容参考了xxx的文章/视频等。