MATLAB最小二乘法数据拟合详解
MATLAB最小二乘法数据拟合详解
最小二乘法是一种常用的数学优化技术，广泛应用于数据拟合领域。本文将详细介绍最小二乘法的基本原理，并通过MATLAB中的多项式曲线拟合和非线性曲线拟合两个方面，展示如何使用最小二乘法进行数据拟合。
最小二乘法原理
当我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）。将这些数据描绘在x-y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）：
Yj= a0 + a1 X （式1-1）
其中：a0、a1 是任意实数
多项式曲线拟合:polyfit
常见拟合曲线
- 直线： y=a0X+a1
- 多项式：一般次数不易过高2 3
- 双曲线： y=a0/x+a1
- 指数曲线： y=a*e^b
MATLAB中函数
- P=polyfit(x,y,n)
- [P S mu]=polyfit(x,y,n)
- polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值
注：其中x y已知数据点向量分别表示横纵坐标，n为拟合多项式的次数，结果返回：
- P-返回n次拟合多项式系数从高到低依次存放于向量P中
- S-包含三个值其中normr是残差平方和
- mu-包含两个值 mean（x）均值，std（x）标准差。
举例
- 已知观测数据为：
X：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
Y：-0.447 1.987 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2
用三次多项式曲线拟合这些数据点：
x=0:0.1:1
y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]
plot(x,y,'k.','markersize',25)
hold on
axis([0 1.3 -2 16])
p3=polyfit(x,y,3)
t=0:0.1:1.2:
S3=polyval(P3,t);
plot(t,S3,'r');
- 拟合为指数曲线
注：在对已测数据不太明确满足什么关系时，需要假设为多种曲线拟合然后比较各自的residal（均方误差）越小者为优，多项式拟合不是拟合次数越高越好，而是残差越小越好。
非线性曲线拟合：lsqcurvefit
- X=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)
- [X,resnorm]=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)
注：其中xdata ydata为给定数据横纵坐标，按照函数文件fun给定的函数以X0为初值做最小乘二拟合，返回函数fun中的系数向量X和残差的平方和resnorm。
例如
已知观测数据：
求三个参数a b c的值是的曲线f(x)=ae^x+bX^2+c*X^
已知数据点在最小二乘意义上充分接近
首先编写拟合函数文件fun
function f=fun(X,xdata)
f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.^2+X(3)*xdata.^3
保存文件fun.m
编写函数调用拟合函数文件
xdata=0:0.1:1;
ydata=[3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 7.1 8.2 9.3 10.4 11.5 12.6 13.17];
X0=[0 0 0];
[X,resnorm]=lsqcurvefit(@fun,X0,xdata,ydata)
运行显示：
X=
3.0022 4.0304 0.9404
resnorm=
0.0912
综上：最小乘二意义上的最佳拟合函数为
f(x)=3.0022x+4.0304x^2+0.9404x^3
残差平方和：0.0912
注：在针对只有一些已测数据而不太清楚最小乘二拟合函数时，采取先打印出已知数据的散点图，然后观察散点图大概分布趋向，再确定拟合函数，也可以确定多个，最后比较残差选择最优最小乘二拟合函数，再者初始值的给定也很重要。
lsqnonlin（fun，X0）：最小二乘拟合函数
本讲结束，谢谢！