奇函数与偶函数：定义、性质及实例解析

奇函数与偶函数：定义、性质及实例解析

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/nvd11/article/details/144521937

在数学中，函数的奇偶性是一个重要的概念，它描述了函数图像相对于坐标轴的对称性。本文将从定义出发，通过具体的函数例子，帮助读者理解奇函数和偶函数的特点。

奇函数的定义

对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么f(x)是奇函数。用数学表达式表示为：

f(-x) = -f(x), x ∈ D(f)

在函数图像中，奇函数都关于原点对称。

奇函数的例子

1. 一次线性函数

例如f(x) = 2x

需要注意的是，f(x) = 2x + n (n ≠ 0)并不是奇函数。因为f(-1) = -2 + n和f(1) = 2 + n并不是相反的值对。

2. 三次函数

例如f(x) = x^3

这个函数显然满足奇函数的定义。

3. 反比例函数

例如f(x) = x^{-1}

4. 正弦函数

例如f(x) = sin(x)

这个波浪线也是原点对称的！

偶函数的定义

对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么f(x)是偶函数。用数学表达式表示为：

f(-x) = f(x), x ∈ D(f)

在函数图像中，偶函数都关于y轴对称。

偶函数的例子

1. 二次函数

例如f(x) = x^2

需要注意的是，f(x) = x^2 + n (n ≠ 0)仍然是偶函数，因为函数图像上下移动一段距离仍然关于y轴对称。但是f(x) = (x + n)^2 (n ≠ 0)就不是偶函数了，因为左右移动会破坏对称性。

2. 绝对值函数

例如f(x) = |x|

3. 余弦函数

例如f(x) = cos(x)

f(x) = cos(x) = sin(x + π/2)

也就是说，将正弦函数的图像向左移动半个周期(π/2)，就由原点对称变成y轴对称，由奇函数变成偶函数，由正弦函数变成余弦函数了。

本文原文来自CSDN