图文证明 等价无穷小替换
图文证明 等价无穷小替换
等价无穷小替换
定义
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
设当 $x \to x_0$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均为无穷小量。
若存在正常数 $c$，使得 $\lim_{{x \to x_0}} \frac{f(x)}{g(x)} = c$，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小量，记作 $f(x) \sim g(x)$。
通常 $c$ 为 1，即 $\lim_{{x \to x_0}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$
证明
可能有人想，我都无穷小，大家不都是无穷小，不都等价怎么还有那么多等价无穷小的公式？
要注意的是无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。而不是这个值
其实当然是因为他们相等的只是无穷小那一点罢了， 下面我们看例子：
有一个无穷小替换为：
$$\sin(x) \sim x$$
根据无穷小替换有：
$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1$$
一看图，其实就能很明显的看出，在0附近，这里很明显两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
我们来这个的看看：
$$1 - \cos(x) \sim \frac {1}{2}x^2$$
是吧 ! 很明显 ! 有一大段贴合 是吧! 很明显! 有一大段贴合是吧!很明显!有一大段贴合
我们再来看看合在一起的：
我们可以发现只有等价替换的才会在附近有一大段的贴合，不然就只有无穷小那一点
所以才会有：
$$\lim_{{x \to x_0}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$$
因为趋于0的速度一样，在那一段里相当于两个相同的函数，不是1还是什么
等价代换的过程
算这个的极限 ：
$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{6x}$$
变换为乘1
$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{6x} *1$$
$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{6x}* \frac{x}{\sin(x)} = \frac{1}{6}$$
这才是详细的代换过程而不是，我们想的直接替换，这也就是为什么等价代换加减不行，乘除才可以的原因。我其实并没有改变原式(下面我们会知道等价代换的本质其实是泰勒公式)
所以只要我们没有改变原来的式子是可以替换的，下面来看一些加减可以换的 ：
$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)+\tan(x)}{6x}*\frac{2x}{\sin(x)+\tan(x)}$$
$$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x^2)+\tan(x)}{6x} *\frac{x^2+x}{\sin(x)+\tan(x)}$$