三角形三边关系的证明及4种应用

三角形三边关系的证明及4种应用

三角形三边关系是平面几何中的一个基本定理，它不仅揭示了三角形边长之间的数量关系，还是解决许多几何问题的重要工具。本文将从三角形三边关系的证明出发，探讨其在不同场景下的具体应用。

一、三角形三边关系证明

在三角形中，两条边的长度之和总是大于第三边。我们可以通过以下几何方法证明这一关系：

1. 延长直线AB至点D，并使|BD|=|BC|，连接|DC|，那么三角形BCD为等腰三角形。所以∠BDC=∠BCD。
2. 记它们均为α，根据欧几里得第五公理，∠ACD大于角∠ADC(α)。
3. 由于∠ACD的对边为AD，∠ADC(α)的对边为AC，所以根据大角对大边(几何原本中的命题19)就可以得到|AB|+|BC|=|AB|+|BD|=|AD|＞|AC|。

二、三角形三边关系4种应用

1. 点P在三角形内部时的边长关系

证明：延长BP与AC交于点Q，如下图所示：

运用三角形三边关系：

• 在△ABQ中：AB+AQ＞BQ=BP+PQ ①
• 在△PQC中：PQ+CQ＞PC ②

由①+②，运用不等式的性质得：
AB+AQ+PQ+CQ＞BP+PQ+PC
即：AB+AC＞PB+PC

总结：此结论可以应用于以下部分题目的证明过程中。

2. 点P在三角形内部时的边长总和关系

证明：

• 在△PAB中：PA+PB＞AB ①
• 在△PAC中：PA+PC＞AC ②
• 在△PBC中：PB+PC＞BA ③

由①+②+③运用不等式的性质得：
2（PA+PB+PC）＞AB+AC+BC

证明：

• AB+AC＞PB+PC ①
• AB+BC＞PA+PC ②
• CB+AC＞PB+PA ③

由①+②+③运用不等式的性质得：
AB+AC+BC＞PA+PB+PC.

3. 两点D、E在三角形内部时的边长关系

证明：延长BD与AC交于点F，延长DE与AC交于点G，如下图所示：

运用三角形三边关系：

• 在△ABF中：AB+AF＞BF＝BD+DF ①
• 在△DFG中：DF+FG＞DG=DE+EG ②
• 在△EGC中：EG+GC＞EC ③

由①+②+③运用不等式的性质得：
AB+AC＞BD+DE+EC.

4. 三角形内部有无数个点的情况

问题：如果△ABC内有无数个点，上述结论仍成立吗？

答案：只要这些点连同B、C围成的是一个“凸多边形”，上述结论就仍成立。证明方法类似，有兴趣的同学可以尝试着去证一下。