随机变量：概率论中的关键概念
随机变量：概率论中的关键概念
随机变量是概率论中的核心概念，它将随机现象与数学分析方法紧密结合起来，使得我们能够用数学工具来研究和处理各种随机事件。本文将详细介绍随机变量的定义、分类及其在概率论中的应用，帮助读者更好地理解这一重要概念。
随机变量
设随机试验E的样本空间为Ω = {ω}，若对于每一个样本点ω ∈ Ω，变量X都有确定的实数值与之对应，则X是定义在Ω上的实值函数，即X = X(ω)，我们称这样的变量X为随机变量，通常用大写英文字母X, Y, Z, …表示。
- 随机变量是Ω → R上的一个映射，其定义域是样本空间Ω。
- 随机变量的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能取值，不能预知具体取哪个值，但它取每个可能值都有一定的概率。
- 引入随机变量的概念后，随机事件就可通过随机变量来表示。在上例中“硬币出现正面”这一事件就可以用“X = 1”来表示，“硬币出现反面”这一事件可以用“X = 0”来表示，这样就可以将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。
随机变量既是变量也是函数。随机变量的取值是随机变量定义在样本空间上的实值函数。
从变量的角度来看，随机变量是指在随机试验或者随机过程中可能取不同数值的一种变量，它的数值无法事先确切预知。随机变量的本质是对不确定事件结果的一种量化表示，使得原本非数值化的随机现象可以用数学语言来描述。
从函数的角度来看，随机变量是定义在样本空间（随机试验所有可能结果组成的集合）上的一个实值函数。它将随机试验的所有可能结果（样本点）映射到实数集合上，每一个样本点对应一个实数值。
离散型随机变量
若随机变量X只能取有限个数值x1, x2, …, xn或可列无穷多个数值x1, x2, …, xn, …，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量X取得任一可能值xi的概率P(X = xi)记作
p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, …, n, …
称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。分布律也可以用列表的形式表示：
X | x1 | x2 | ⋯ | xn | ⋯ |
|---|---|---|---|---|---|
p(xi) | p(x1) | p(x2) | ⋯ | p(xn) | ⋯ |
连续型随机变量
若随机变量X的取值范围是某个实数区间I（有界或无界），如果存在非负函数f(x)，使得对于任意区间[a, b] ⊂ I有
P(a ⩽ X ⩽ b) = ∫ab f(x) dx
则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。
概率密度的几何意义：随机变量X落入区间[a, b]的概率等于由曲线y = f(x)，x = a，x = b及x轴所围成的曲边梯形的面积。