让人惊叹的Johnson-Lindenstrauss引理：理论篇
让人惊叹的Johnson-Lindenstrauss引理：理论篇
Johnson-Lindenstrauss引理（简称JL引理）是机器学习中一个重要的理论基础，它揭示了在高维空间中降维的可能性和方法。本文将从理论角度深入探讨JL引理的原理和证明过程，帮助读者理解这一神奇的结论。
对数的维度
JL引理可以非常通俗地表达为：塞下 个向量，只需要 维空间。
具体来说，JL引理说的是，不管这 个向量原来是多少维的，我们都可以将它们降到 ，并将相对距离的误差控制在一定范围内。可以想象，这是一个非常强、非常反直觉、非常实用的结论。比如我们要做向量检索，原本的向量维度可能非常大，这样全量检索一次的成本也非常大，而JL引理告诉我们，可以将它们变换到 维，并且检索效果近似不变，这简直就是“天上掉馅饼”的好事！
可能读者会有疑问：这么强的结论，那么对应的降维方法会不会特别复杂？答案是刚刚相反，降维过程仅仅用到随机线性投影！甚至有评价说，JL引理是一个“证明比理解更容易的结论”，也就是说，从数学上证明它还真不算特别困难，但如何直观地理解这个反直觉的结论，反而是不那么容易的。
无独有偶，我们之前其实就介绍过两个反直觉的结果：在文章《n 维空间下两个随机向量的夹角分布》[1] 中，我们就介绍过“高维空间中任意两个向量几乎都是垂直的”，这显然与二维、三维空间的结果差距甚远；在文章《从几何视角来理解模型参数的初始化策略》[2] 中，这个结果进一步升级为“从 采样出来的 矩阵几乎是一个正交矩阵”，这更与我们一直理解的“正交性是非常苛刻的（要求转置等于逆）”有严重出入。
但事实上，这两个结论不仅对，而且还跟 JL 引理直接相关。可以说，JL 引理可以看成是它们的细化和应用。所以，我们需要先用更定量的语言来刻画这两个结论，比如“几乎垂直”，那垂直的概率究竟有多少，比如“近似正交”，那误差究竟有多大。
概率不等式
为此，我们需要一些概率知识，其中最主要是“马尔可夫不等式”：
马尔可夫不等式：如果 是非负随机变量，，那么
注意该不等式并没有对 所服从的分布有其他特别的限制，只要求随机变量的取值空间是非负的（或者等价地，负的 的概率恒为 0），证明其实非常简单：
马尔可夫不等式要求随机变量是非负的，但我们平时要处理的随机变量不一定是非负的，所以通常需要变换一下才能用。比如 不是非负的，但 是非负的，于是利用马尔可夫不等式有：
这就是“切比雪夫不等式”。
另外一个经典技巧称为“Cramér-Chernoff方法”，也是我们后面主要利用到的方法，它通过指数函数将随机变量变成非负的：对于任意 ，我们有
所以利用马尔可夫不等式有
最左端是跟 无关的，但是最右端有一个 ，而这不等式是对于任意 都成立的。所以理论上，我们可以找到使得最右端最小的 ，以获得最高的估计精度：
引理的引理
现在，我们可以引入如下结果，它是JL 引理的引理，甚至可以说，它是本文一切结论的理论基础：
单位模引理：设 是独立重复采样自 的向量， 是给定常数，那么我们有：
该引理告诉我们，当 足够大的时候， 的模长明显偏离 1 的概率是非常小的（给定 后，将以 的指数形式递减至 0），所以从 采样出来的 维向量将会非常接近单位向量。
它的证明正是用到“Cramér-Chernoff方法”：首先 意味着 或 ，我们需要分别进行推导，不失一般性，先推导 的概率，根据 Cramér-Chernoff 方法，有：
将 u 写成分量形式 ，其中每个分量都是独立的，分布均为 ，那么我们有：
而 ，所以：
右端的极小值在 取到，推导过程就留给读者了，然后代入得到：
其中 的证明也留给读者了。类似地，我们可以对 的概率进行推导，结果为：
其中可证 ，所以上式沿用了 的不等关系。现在两式相加，我们得到 。证毕。
从“单位模引理”出发，我们可以证明“正交性引理”：
正交性引理：设 是独立重复采样自 的两个向量，是给定常数，那么我们有：
该引理告诉我们，当 足够大的时候， 的内积明显偏离 0 的概率是非常小的（给定 后，将以 的指数形式递减至 0），所以从 采样出来的两个 维向量将会非常接近正交。而结合“单位模引理”，我们就得到“从 采样出来的 矩阵几乎是一个正交矩阵”的结论了。
有了“单位模引理”铺垫，它的证明不算难。我们知道如果 ，那么 ，所以根据“单位模引理”的证明，我们有：
注意 和 两式相加后可以得出 ，所以：
同理可证 ，两者结合就得到“正交性引理”。
证明的过程
现在我们就可以着手证明 JL 引理了，下面是它的数学表述：
数学版 JL 引理：给定 个向量 和 ，而随机矩阵 独立重复采样自 ， 是给定常数，那么至少有 的概率，使得对于所有的 ，都成立：
引理告诉我们，不管原来的向量维数 是多少，只需要 的维度，我们就可以容纳下 个向量，使得它们相对距离的偏离都不超过 。而且 JL 引理还告诉我们降维方法：只需要从 随机采样一个 的矩阵 ，然后变换 就有 的可能性达到目的。真可谓是简单实用了。
证明过程也是“单位模引理”的直接应用。首先，如果 是给定的单位向量，而 独立重复采样自 ，那么 的每个分量都独立地服从 。证明也并不难，根据定义每个分量 ，由于 相互独立，所以 显然相互独立，并且由于 ，正态随机变量和的分布依然是正态分布，所以 服从正态分布，其均值为 ，其方差则为 。
所以，说白了， 相当于从 独立重复采样出来的 维向量。现在代入 ，利用“单位模引理”，得到：
此结果对于任意 都成立，那么遍历所有的 的组合，我们得到至少有一项 的概率不超过：
或者反过来说，对于任意 ，都成立 （等价于（16））的概率不小于：
代入 ，可以得到：
至此，证明已经完成。
上面的 JL 引理中保持的是欧氏距离近似不变，很多时候我们检索用的是内积（比如余弦相似度）而不是欧氏距离。对此，我们有：
内积版 JL 引理：给定 个单位向量 和 ，而随机矩阵 独立重复采样自 ， 是给定常数，那么至少有 的概率，使得对于所有的 ，都成立：
证明很简单，模仿“正交性引理”的证明即可。根据 JL 引理的证明，我们可以得到在相同的条件下，至少有 的概率同时满足对于任意 有：
将第一乘上 -1 得到：
然后加到第二式得到：
注意到 是单位向量，所以上式等价于 。
极度的充分
动手去推过一次 JL 引理证明的同学应该能感觉到，JL 引理的结论中之所以能够出现 ，本质上是因为“单位模引理”中的概率项 是指数衰减的，而我们可以放宽这个衰减速度，让其变成多项式衰减，从而出现了 。
总的来说，JL 引理告诉我们，以误差 塞下 个向量，只需要 维的空间，至于 前面的常数是多少，其实不大重要。因为事实上JL 引理是一个非常充分的条件，实际情况中条件往往更加宽松。比如，在 JL 引理的证明中如果我们将条件改为 ，那么式（16）成立的概率就不小于：
注意 虽然小，但终究是大于 0 的，所以此时依然是存在 使得（16）成立，只不过寻找 的成本更大罢了（每次命中的概率只有 ），而如果我们只关心存在性，那么这也够了。
而且，JL 引理只考虑了在随机线性投影下的降维，就已经得到 了，如果是其他更精细的降维，比如基于 SVD 的降维，是有可能得到更好的结果的（前面的系数更小）；如果非线性的降维方法也考虑进去，那么结果又能变得更优了。所以说，不需要太关心 前面的常数是多少，我们只需要知道 的量级，如果真要用到它，通常还需要根据实际情况确定前面的常数，而不是调用理论结果。
且待下回续
在这篇文章中，我们介绍了 Johnson–Lindenstrauss 引理（JL 引理），它是关于降维的一个重要而奇妙的结论，是高维空间的不同寻常之处的重要体现之一。它告诉我们“只需要 维空间就可以塞下 个向量”，使得原本高维空间中的检索问题可以降低到 维空间中。
本文主要讨论了 JL 引理的相关理论证明细节，下一篇文章我们则尝试应用它来理解一些机器学习问题，敬请期待。
参考文献