偏导数的几何意义

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义

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一元导数

在一元函数里，函数$y=f\left(x\right)$在${x}_{0}$的导数的几何意义就是该曲线在该${x}_{0}$点切线的斜率。而一阶微分的意义是用切线的长度近似曲线的长度。

二元偏导数的几何意义

对于二元数$z=f\left(x,y\right)$必须牢记，他表示的是一个曲面，为了查看这个曲面，需要放在立体空间里（如下图）。

所谓偏导数，相当于是求曲面上一点的切线。但是，过曲面上一点有无数条切线，需取哪个切线呢？（参考上图，过P点，曲面有无数条切线）

答案是： 我们只求沿平行X坐标轴和Y坐标轴的切线 。

对$x$求导时，相当于表示曲线对$x$轴的夹角的斜率，而对$y$求导，相当于表示曲线对$y$轴夹角的斜率。

二元偏导数求法

对X轴求偏导的几何意义

（1）空间有一个曲面

（2）想象一下拿一把刀沿平行于$x$轴砍一刀（只有沿平行X轴时，Y值不变），

（3）刀痕和曲面相交，形成一个曲线

（4）在曲线上取一点，做曲线的切线，就是函数对$x$轴的偏导数。

对X轴求偏导

根据一元导数的定义，对$X$轴的偏导，相当于是求对$X$轴的斜率。

即

偏导数 ${f}_{x}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)$ 表示$f\left(x,y\right)$曲线在点 ${M}_{0}$ 处的切线 ${M}_{0}{T}_{x}$ 对 $x$ 轴正向的斜率 (图 6-8).

例1 已知 $z={e}^{xy}+{x}^{2}y$ 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$

解：通过上面分析，当对$x$求偏导数时，因为是沿平行于$x$轴进行切割，所以$y$值是固定的，换句话说，需要把$y$看成常数，得

$\frac{\partial z}{\partial x}=y{e}^{xy}+2xy$

对Y轴求偏导

偏导数 ${f}_{y}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)$ 就是曲面被平面 $x={x}_{0}$ 所截得的曲线在点 ${M}_{0}$ 处的切线 ${M}_{0}{T}_{y}$ 对 $y$ 轴正向的斜率(图 6-9).

例2 已知 $z={e}^{xy}+{x}^{2}y$ 求 $\frac{\partial z}{\partial y}$

解：通过上面分析，当对$y$求偏导数时，因为是沿平行于$y$轴进行切割，所以$x$值是固定的，换句话说，需要把$x$看成常数，得

$\frac{\partial z}{\partial y}=x{e}^{xy}+{x}^{2}$

一元微分与二元微分的几何意义

对于一元微分，如果函数是 光滑并且连续的 ，如下图所示，设 ${P}_{0}$ 为曲线上的一个定点，$P$ 为曲线上的一个动点。当 $P$ 沿曲线逐渐趋向于点 ${P}_{0}$时，并且割线 $P{P}_{0}$ 的极限位置 ${P}_{0}T$ 存在，则曲线弧$\stackrel{^}{{P}_{0}P}$可以近似用${P}_{0}P$替代

即一元微分的意义是：我们用切线近似替代曲线弧长。

$\begin{array}{rl}& \underset{\text{曲线}}{\underset{⏟}{f\left({x}_{0}+\mathrm{\Delta }x\right)}}=\underset{\text{切线}}{\underset{⏟}{f\left({x}_{0}\right)+{f}^{\prime }\left({x}_{0}\right)\mathrm{\Delta }x}}+\underset{\text{代表非常小的值}}{\underset{⏟}{o\left(\mathrm{\Delta }x\right)}}\end{array}$

在一元曲线里，我们使用 切线替代了曲线 ，而在二元曲线里，我们自然想用 切平面替代曲面

切平面

在一个曲面上，取一个极小的面积元，我们将通过极限思维研究这个面积元。

把上面这个极小的面积元放到放大倍数无限大的显微镜下观看，如下：

红色表示原始曲面，而深蓝色表示曲面的法平面。

可以证明详见此处，如果曲线是光滑、连续的，那么，过曲线上固定的这一点的所有切线都在一个平面内，这个平面叫做切平面。

下面的问题是：我们能否用切平面替代曲面呢？如下图，在曲面上取一点$f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)$, 并沿$x,y$再取极小的一段$\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$

可以求的曲面与切平面的近似值为

即二元微分的意义是：我们用切平面似替代曲面

$\underset{\text{曲面}}{\underset{⏟}{f\left({x}_{0}+\mathrm{\Delta }x,{y}_{0}+\mathrm{\Delta }y\right)}}=\underset{\text{切平面}}{\underset{⏟}{f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta }y}}+\underset{\text{代表非常小的值}}{\underset{⏟}{o\left(\sqrt{\left(\mathrm{\Delta }x{\right)}^{2}+\left(\mathrm{\Delta }y{\right)}^{2}}\right)}}$

上面出现了 $o\left(\sqrt{\left(\mathrm{\Delta }x{\right)}^{2}+\left(\mathrm{\Delta }y{\right)}^{2}}\right)$

这是以此点的邻域是半径为$r=\sqrt{\left(\mathrm{\Delta }x{\right)}^{2}+\left(\mathrm{\Delta }y{\right)}^{2}}$的圆