三门问题的数学原理及模拟实验

三门问题的数学原理及模拟实验

三门问题（Monty Hall problem）是一个源自博弈论的数学游戏，源自美国电视游戏节目Let's Make a Deal。问题描述为：参赛者面对三扇关闭的门，其中一扇门后是汽车，其他两扇门后是山羊。参赛者选择一扇门后，主持人会打开剩下两扇门中的一扇，露出一只山羊。此时，主持人问参赛者是否要更换选择。问题是：更换选择是否会增加赢得汽车的概率？

三门问题的概率表述

贝叶斯公式

贝叶斯公式是关于条件概率的公式。假设有事件A和事件B，它们地位等同。贝叶斯公式可以根据给定事件A时事件B的条件概率P(B|A)去计算给定事件B时事件A的条件概率P(A|B)；或者反过来。贝叶斯公式的数学表示是：

$$
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$

其中，P(A)是事件A的先验概率；P(B|A)是给定事件A时事件B的条件概率，在此一般称为后验概率；P(B)是事件B的先验概率，在此一般称为边缘概率；P(A|B)是给定时间B时事件A的条件概率。

三门问题的概率建模

在三门问题中，若有以下定义：

• 事件A：参赛者选择的门后有汽车；
• 事件B：主持人选择的门后有汽车。

则，根据贝叶斯公式，有：

$$
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$

因此，问题转换为求解并判断后验概率P(A|B)：

考虑P(B|A)表示已知参赛者选择的门后有汽车时，主持人选择的门后无汽车的概率，因为已知三扇门后只有一台汽车，因此P(B|A) = 1。又考虑到参赛者选择的门后有汽车的概率始终是1/3，因此问题实质上是要看边缘概率P(B)的值：

• 若P(B) = 1/2，则P(A|B) = 1/3，答案是「否」；
• 若P(B) = 1/3，则P(A|B) = 2/3，答案是「是」。

边缘概率P(B)之谜

两种答案

关于三门问题，两种答案争执已久。归纳起来，可以是：

• 既然主持人排除了一个错误选项，那么原始问题就变成了二选一的新问题，此时选哪个都一样，中奖概率都是1/2。因此答案是「否」。
• 三扇门的中奖概率都是1/3，参赛者选中的门的中奖概率自然也是1/3；而主持人选择的门打开后，1/3就「跑到」另一扇门上去了，所以另一扇门的中奖概率是2/3。因此答案是「是」。

暗藏的假设

根据贝叶斯公式，目标后验概率为P(A|B)。因此，以上两种答案对应边缘概率P(B)分别是1/2和1/3；这又对应了两种假设：

• 主持人并不知道门后的情况，随机选择后恰好门后是羊；特别地，主持人不知道参赛者选择的门后的情况，因而主持人的选择没有带来新的信息量。即：P(B) = 1/2。
• 主持人知道门后的情况，因此选择的门后边必然是羊；特别地，主持人知道参赛者选择的门后的情况，因而主持人的选择带来了新的信息量。即：P(B) = 1/3。

这两种假设即是长期持续的争论的直接原因，而其根源在于原始问题用模糊的语言玩了一个文字游戏。「节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇」，并没有体现出主持人事先是否知道门后的情况；因而两种理解都算是可以接受的。这即是三门问题引起争论的原因，也是其陷阱所在。

破解谜题

尽管在原始问题中，有「文字游戏」的嫌疑，但由于「露出其中一只山羊」的保证，事实上主持人的选择就变成了确定性的结论，因而带来了信息量。以概率论的角度来描述，即是P(B) = 1/3。

因此，三门问题的答案，应当是「换另一扇门会增加参赛者赢得汽车的机会（概率从1/3增加到2/3）」。

回到小孩子的思维

行文至此，尽管已经从概率论的角度解答了原始问题，并给出了问题令人困惑的根本原因，但可能仍然有人拒绝这一反直觉的答案。为此，此处给出一个运用小孩子的思维的解法：枚举。

根据题目，参赛者需要在三扇门中进行选择，而门后共有一台汽车和两只羊。不妨将其设为：

• 汽车
• 羊A
• 羊B

那么，若参赛者在主持人展示一只羊之后更改选择，则获胜的概率为2/3（失败的概率则是1/3）。所有可能的情况枚举如下：

• 当参赛者一开始选择汽车时（1/3概率），不论主持人选择羊A还是羊B，若参赛者更换选择，都不能赢得汽车。
• 当参赛者一开始选择羊A时（1/3概率），主持人必然选择羊B，若参赛者更换选择，则必然赢得汽车。
• 当参赛者一开始选择羊B时（1/3概率），主持人必然选择羊A，若参赛者更换选择，则必然赢得汽车。

计算机模拟实验

所谓「实践是检验真理的唯一标准」，在给出了尽可能清晰的解答之后，本文也尝试用计算机模拟的方法，进行实践检验。

Python代码（在此下载）读起来很容易，因此不做详细说明，而只给出简单的解释。对于参赛者的两种选择（在主持人打开一扇门后是否更改选择），代码分别进行了10000轮，每轮1000次的实验。而后，代码统计每轮1000次实验中，参赛者成功赢得汽车的频率；并将10000轮频率绘制成图展示。

以下是「不更改」的实验结果。不难发现，频率分布在1/3左右，每轮实验的具体频率在它附近抖动。

以下是「更改」的实验结果。不难发现，频率分布在2/3左右，每轮实验的具体频率在它附近抖动。

据此，计算机模拟实验的结果，与前文分析的结果相同。