OpenCV 图像旋转和平移 数学和代码原理详解

OpenCV 图像旋转和平移 数学和代码原理详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_46999174/article/details/140612606

在OpenCV中进行图像旋转涉及到一些基本的几何变换和图像处理操作。本文将从数学原理出发，详细讲解图像旋转和平移的实现方法，并给出完整的C++和Python代码示例。

数学原理

在图像旋转中，背后的数学原理主要涉及二维欧几里得空间中的几何变换。具体来说，图像旋转可以通过二维旋转矩阵来实现。

旋转矩阵

对于一个二维平面上的点 ((x, y))，绕原点逆时针旋转角度 (\theta) 后的新坐标 ((x', y')) 可以通过以下旋转矩阵计算得到：

[
\begin{bmatrix}
x' \
y'
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
]

平移和旋转

在实际应用中，图像通常不会绕原点旋转，而是绕图像的某个中心点 ((c_x, c_y)) 进行旋转。要实现绕任意点旋转，我们需要先将该点平移到原点，进行旋转，然后再平移回原来的位置。

具体步骤如下：

1. 平移中心点到原点：将中心点 ((c_x, c_y)) 平移到原点 ((0, 0))。
2. 旋转：在原点进行旋转。
3. 平移回原位置：将旋转后的点再平移回 ((c_x, c_y))。

合成变换矩阵

综合上述步骤，绕任意点 ((c_x, c_y)) 逆时针旋转角度 (\theta) 的变换矩阵可以表示为：

[
M = T \cdot R \cdot T^{-1}
]

其中：

• (T) 是平移矩阵，用于将中心点平移到原点。
• (R) 是旋转矩阵，用于在原点进行旋转。
• (T^{-1}) 是逆平移矩阵，用于将旋转后的点平移回原位置。

具体形式为：

[
T =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -c_x \
0 & 1 & -c_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

[
R =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \
\sin\theta & \cos\theta & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

[
T^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & c_x \
0 & 1 & c_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

所以综合后的旋转矩阵 (M) 为：

[
M =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & c_x(1-\cos\theta) + c_y\sin\theta \
\sin\theta & \cos\theta & c_y(1-\cos\theta) - c_x\sin\theta \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

由于图像坐标是二维的，我们只需要前三列中的前两行：

[
M =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & c_x(1-\cos\theta) + c_y\sin\theta \
\sin\theta & \cos\theta & c_y(1-\cos\theta) - c_x\sin\theta
\end{bmatrix}
]

应用在OpenCV中的实现

在OpenCV中，函数 cv::getRotationMatrix2D 就是用来计算这个旋转矩阵的：

cv::Mat cv::getRotationMatrix2D(cv::Point2f center, double angle, double scale);

• center 参数表示旋转中心 ((c_x, c_y))，
• angle 表示旋转角度 (\theta)，
• scale 表示缩放比例。

然后通过 cv::warpAffine 函数应用这个旋转矩阵来实现图像的旋转：

cv::warpAffine(src, dst, M, cv::Size(width, height));

其中 M 就是通过 getRotationMatrix2D 计算得到的旋转矩阵。

总结一下，图像旋转的数学原理是通过平移和旋转组合的方式，利用二维旋转矩阵实现绕任意点的旋转。OpenCV中提供的函数封装了这些数学计算，使得图像旋转操作变得简单直观。

代码关键点解读

以胖虎为例

C++代码：

void rotate_demo(Mat &image){
    int width = image.cols;
    int height = image.rows;
    //计算旋转中心坐标
    Point2f center(width/2.0,height/2.0);
    double angle =180;
    Mat rotation_matrix = getRotationMatrix2D(center,angle,1.0);
    Mat rotate_image ;
    warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(width,height));
    imshow("Rotate Image",rotate_image);
}

调用上述代码就会发现一个问题：图像是旋转了,但是旋转后的图像尺寸不对了， 向右旋转之后，图像宽度不正常。宽度应该是原来的高度，原来的高度应该是宽度才对。

在 warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(width,height)); 中尝试调换一下宽度和高度试试。

warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,Size(height,width));

尝试运行之后，发现虽然窗口尺寸对了但是图像右上角都是黑边，原来的图像现了缺失

出现这个原因是我们一开始是按照中心点进行旋转，并不是从左上角开始旋转的，因此会出现图片缺失问题，因此我们需要把图像再平移回去。平移回去的第一大问题就是旋转之后的图像宽度和高度发生了变化，我们需要重新计算旋转后的图像尺寸

OpenCV提供了计算旋转后的的图像边界尺寸的工具，bbox就是以某个角度旋转之后的矩阵，为什么需要这个函数?举个栗子，旋转九十度，图像的宽度是原来图像的高度，图像的高度是原来的宽度，但如果是旋转45度？旋转后的图像并不是原来图像的高度，需要重新计算。

Rect bbox = RotatedRect(Point2f(), image.size(), angle).boundingRect();

旋转矩阵 rotation_matrix 是一个 2x3 的矩阵，其形式为：

[
\begin{bmatrix}
a & b & t_x \
c & d & t_y
\end{bmatrix}
]

其中 (t_x) 和 (t_y) 是平移部分。

因此我们需要调整 (t_x) 和 (t_y) 的值

• 旋转后的图像尺寸 bbox.size() 的中心点坐标为 ((bbox.width / 2.0, bbox.height / 2.0))。
• 原始旋转中心点为 center，坐标为 ((center.x, center.y))。
• 调整 (t_x) 和 (t_y) 的目的是将旋转中心点平移到新图像中心，使图像内容在旋转后居中。
• 调整后的 (t_x) 和 (t_y) 计算如下：
• (t_x)：将图像沿 x 轴平移 (bbox.width / 2.0 - center.x)。
• (t_y)：将图像沿 y 轴平移 (bbox.height / 2.0 - center.y)。

对应的代码为：

rotation_matrix.at<double>(0, 2) += bbox.width / 2.0 - center.x;
rotation_matrix.at<double>(1, 2) += bbox.height / 2.0 - center.y;

at<double>(0, 2) 访问矩阵中的 (t_x) 值， at<double>(1, 2) 访问矩阵中的 (t_y) 值。

再来运行一下代码，可以看到此时图像就正常了。

试试45度旋转，修改 angle 的值为45，效果如下，注意图像的尺寸已经发生了改变，重新计算尺寸后不会造成像素丢失的问题

完整代码

C++代码：

void rotate_demo(Mat &image){
    int width = image.cols;
    int height = image.rows;
    //计算旋转中心坐标
    Point2f center(width/2.0,height/2.0);
    double angle =45;
    Mat rotation_matrix = getRotationMatrix2D(center,angle,1.0);
    //因为涉及到旋转，图像的高度和宽度其实发生了变化
    // 计算旋转后的图像边界尺寸
    Rect bbox = RotatedRect(Point2f(), image.size(), angle).boundingRect();
    rotation_matrix.at<double>(0, 2) += bbox.width / 2.0 - center.x;
    rotation_matrix.at<double>(1, 2) += bbox.height / 2.0 - center.y;
    Mat rotate_image ;
    warpAffine(image,rotate_image,rotation_matrix,bbox.size());
    imshow("Rotate Image",rotate_image);
}

Python代码：

import cv2
import numpy as np

def rotate_demo(image_path, angle=45):
    # 读取图像
    image = cv2.imread(image_path)
    if image is None:
        print("Could not read the image.")
        return
    height, width = image.shape[:2]
    # 计算旋转中心坐标
    center = (width / 2.0, height / 2.0)
    # 计算旋转矩阵
    rotation_matrix = cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, 1.0)
    # 计算旋转后的图像边界尺寸
    corners = np.array([
        [0, 0],
        [width, 0],
        [width, height],
        [0, height]
    ])
    corners = np.hstack((corners, np.ones((4, 1))))
    rotated_corners = rotation_matrix.dot(corners.T).T
    x_coords = rotated_corners[:, 0]
    y_coords = rotated_corners[:, 1]
    bbox_width = int(np.ceil(x_coords.max() - x_coords.min()))
    bbox_height = int(np.ceil(y_coords.max() - y_coords.min()))
    # 调整旋转矩阵的平移部分
    rotation_matrix[0, 2] += bbox_width / 2.0 - center[0]
    rotation_matrix[1, 2] += bbox_height / 2.0 - center[1]
    # 执行旋转操作
    rotate_image = cv2.warpAffine(image, rotation_matrix, (bbox_width, bbox_height))
    # 显示旋转后的图像
    cv2.imshow("Rotate Image", rotate_image)
    cv2.waitKey(0)
    cv2.destroyAllWindows()

# 调用旋转函数
rotate_demo("path_to_your_image.jpg", 45)