指数分布的性质：期望值、方差与无记忆性

指数分布的性质：期望值、方差与无记忆性

在我们的日常生活中，有许多场景涉及到“等待时间”，比如公交车到站的时间、机器故障的时间、电话铃响的时间等。这些“等待时间”可以用一种称为指数分布的概率分布来建模。本文将从指数分布的概率密度函数开始，逐步介绍其期望值和方差的计算方法，以及指数分布特有的“无记忆性”性质。

指数分布是一种在处理“等待时间”问题时非常重要的概率分布。它常用于描述独立随机事件发生的时间间隔，例如设备故障时间、电话呼叫间隔等。

1. 确率密度函数

指数分布的概率密度函数如下：

$$
f(x) = \left{
\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0)\
0 & (x < 0)
\end{array}
\right.
$$

其中，$\lambda$是分布的参数，表示事件发生的速率。

2. 期望值和方差

指数分布的期望值$E[X]$和方差$V[X]$分别为：

$$
E[X]=\dfrac{1}{\lambda}
$$

$$
V[X]=\dfrac{1}{\lambda^2}
$$

2.1. 期望值 $E[X]$ 的计算

期望值的计算公式为：

$$
E(X) = \int_0^\infty x f(x) dx = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} , dx
$$

使用分部积分法：

$$
\int _0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} dx = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int e^{-\lambda x} , dx
$$

由于$x e^{-\lambda x}$在$x \to \infty$时趋于0，且在$x=0$时为0，因此：

$$
\int _0^\infty e^{-\lambda x} dx = \left[\dfrac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = \frac{1}{\lambda}
$$

所以：

$$
E(X) = \frac{1}{\lambda}
$$

2.2. 方差 $V[X]$ 的计算

方差的计算公式为：

$$
V[X] = E(X^2) – [E(X)]^2
$$

首先计算$E(X^2)$：

$$
E(X^2) = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} , dx
$$

使用分部积分法：

$$
\int x^2 \lambda e^{-\lambda x} , dx = \left[-x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int _0^\infty 2x e^{-\lambda x} , dx
$$

由于$\int x e^{-\lambda x} , dx = \dfrac{1}{\lambda^2}$，因此：

$$
\int _0^\infty 2x e^{-\lambda x} dx = 2 \times \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2}
$$

所以：

$$
E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}
$$

因此，方差为：

$$
V[X] = \frac{2}{\lambda^2} – \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}
$$

3. 指数分布的无记忆性

指数分布的一个重要特性是“无记忆性”，数学上表示为：

$$
P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)
$$

这意味着在已经等待了$s$单位时间后，再等待$t$单位时间的概率与从开始就等待$t$单位时间的概率相同。

3.1. 无记忆性的证明

要证明指数分布的无记忆性，需要证明以下等式：

$$
P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)
$$

3.1.1. 左边的计算

根据条件概率的定义：

$$
P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P((X > s + t) \cap ( X > s))}{P(X > s)}
$$

由于$(X > s + t) \cap ( X > s) = X > s + t$，因此：

$$
P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)}
$$

3.1.2. $P(X > x)$ 的计算

对于指数分布：

$$
P(X > x) = \int_x^\infty \lambda e^{-\lambda y} , dy = e^{-\lambda x}
$$

因此：

$$
P(X > s + t) = e^{-\lambda (s + t)}
$$

$$
P(X > s) = e^{-\lambda s}
$$

3.1.3. 条件概率的计算

将上述结果代入条件概率的公式：

$$
P(X > s + t \mid X > s) = \frac{e^{-\lambda (s + t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t)
$$

这证明了指数分布确实具有无记忆性。