只有八维数字，才能还原宇宙的本质

只有八维数字，才能还原宇宙的本质

八元数是数学中一种特殊的数系，它在物理学中可能蕴含着宇宙的本质。从实数到复数，再到四元数和八元数，每一次维度的翻倍都会失去一些数学性质。虽然八元数不满足结合律，但这正是它吸引物理学家的地方。

要说明什么是八元数，要从我们熟悉的实数开始——就是那些可以在数轴上找到的数，例如1、π、-83.777。实数可以通过特定的方式凑成一对，组成复数。关于复数的研究开始于16世纪的意大利，复数和二维坐标平面类似，加法、减法、乘法和除法就像是位置在平面上平移和旋转。将复数以一定的方式配对，可以形成四维的四元数，它是在1843年由爱尔兰数学家哈密顿发现的。哈密顿的律师朋友John Graves随之证明了成对组合的四元数也组成八元数：这种数可以定义八维抽象空间的坐标。

之后就不可能构建更复杂的数了。1898年完成的证明说明，实数、复数、四元数和八元数是仅有的几种可被加减乘除的数字形式。这些“可除代数”中的前三个是20世纪物理学的数学基础，实数一直都存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数则是爱因斯坦狭义相对论的基础。这样的联系让很多研究人员去思考如何理解最后一个可除代数。八元数中可能蕴含着宇宙的秘密吗？

当你从实数到复数，再到四元数、八元数把维度逐步翻倍时，Furey解释道，“每一次翻倍，你都会失去一些性质。”比如，实数可以从小到大排列，“而复数分布的平面上，根本没有这样的概念。”接着，四元数没有交换律；对于四元数来说，a×b不等于b×a。

这其实也很常见，因为将更高维度的数相乘会包含旋转，当你在高于两维的空间交换旋转的次序时，你最终得到的位置是不同的。到了八元数，结合律也将失效，也就是说(a×b)×c不等于a×(b×c)。“数学家们不喜欢不满足结合律的东西，”加利福尼亚大学河滨分校的八元数专家John Baez说，“因为我们很容易想象不满足交换律的情形，比如先穿袜子再穿鞋和先穿鞋再穿袜子，但是我们很难想象不满足结合律的情形。”比如，除了先穿袜子之后穿鞋，你还可以先将你的袜子放进你的鞋中，再同时穿上袜子和鞋，技术上说，这两种不同的穿法可以让得到相同的结果：穿着袜子和鞋。“括号是一种人为引入的东西。”

八元数不满足结合律的性质阻碍了很多物理学家在这方面的努力，但是Baez解释说，八元数奇怪的数学性质同时也是最吸引他们的地方。自然用它的四种力操纵着几十种粒子和反粒子，它本身也很奇怪。标准模型是“奇怪且独特的”，他说。

在标准模型中，基本粒子体现了三个对称群。所谓的群，指的就是可以让运动方程保持不变的交换粒子子集的方式。这三个群，SU(3), SU(2)和U(1)分别对应着强、弱和电磁相互作用，它们作用于6种夸克，两种轻子加上它们的反粒子，每种轻子又分别有三代，每代的粒子除了质量不一样以外其他性质都相同。（第四种基本力——引力与这三种不相容，在爱因斯坦的广义相对论中，引力是时空几何的弯曲。）

粒子集合体现的是标准模型中的对称性，就像是正方形为了满足90度的旋转对称性必须存在四个顶角一样。问题在于，为什么是SU(3)×SU(2)×U(1)这个对称群？还有，为什么就是这样的一套粒子，具有各种力荷、奇妙的手征和冗余的三代粒子？对待这类问题的传统态度是将标准模型看成是更为完整理论结构的一部分。但另外一种办法，是试图通过八元数来“从逻辑上解决这些奇怪的性质，”Baez说。