数列Sn性质的综合应用：一道高考数学典型例题详解

数列Sn性质的综合应用：一道高考数学典型例题详解

数列Sn性质的综合应用是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中常见的考点之一。本文通过一道具体的例题，详细讲解了如何利用等比数列的性质和基本不等式来求解数列问题。

题目分析

已知正项等比数列，其前N项和为Sn。题目给出条件：S10 - 5S5 = 1，要求求出A11到A15的最小值。

解题思路

1. 识别数列性质：题目提到等比数列的前N项和，并且出现了S5、S10这样的特征，容易联想到等比数列Sn的性质：

• Sn、S2N - SN、S3N - S2N等
• 如果An是等差数列，则具有等差性质；如果An是等比数列，则具有等比性质。

2. 利用条件处理：由于是等比数列且出现了5，可以将S5、S10 - S5、S15 - S10等表示出来。仔细观察所求的A11到A15，发现正是S15 - S10的值。

3. 设未知数求解：设S5为X，则S10 = 5X + 1。进一步得到S15 - S10 = 4X + 1。设S15 - S10为Y，则有：

• (4X + 1)² = X * Y
• Y = (4X + 1)² / X

4. 应用基本不等式：由于题目要求最小值，且各项均为正数，可以应用基本不等式：

• Y = 16X + 8 + 1/X
• Y ≥ 2√(16X * 8) = 16
• 等号成立条件为16X² = 1，即X = 1/4

因此，所求的最小值为16。

总结

这道题目主要考察了两个知识点：

1. 数列Sn的性质
2. 基本不等式的应用

通过这道题，我们可以看到，数列问题的解题关键在于识别数列的性质，并灵活运用相关公式和定理。希望本文的解析能帮助大家更好地理解和掌握数列Sn性质的综合应用。