从零到无穷：三角函数的前世今生
从零到无穷：三角函数的前世今生
三角函数是数学中的一个重要概念，从初中到高中，我们都会接触到相关内容。本文将带你一起探索三角函数的发展历程，从基础概念到高级应用，帮助你更好地理解这一数学工具。
本质：锐角三角函数
在初中数学中，三角函数的定义基于相似三角形。如下图所示，在直角三角形ABC和DEC中，由于∠C和直角相等，可以判定这两个三角形相似。因此，对于一个角度确定的直角三角形来说，边长的比值是相同的。
为了方便计算，人们定义了三角函数，表示边长之间的关系：
- sin（正弦）：对边与斜边的比值
- cos（余弦）：邻边与斜边的比值
- tan（正切）：对边与邻边的比值
此外，还有它们的倒数，但使用较少：
- csc（余割）：斜边与对边的比值
- sec（正割）：斜边与邻边的比值
- cot（余切）：邻边与对边的比值
通过勾股定理，可以得到以下关系：
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
新生：弧度制的发现
初中阶段，我们使用角度（°）表示角的大小。但为了追求数学的统一性，人们开始寻找新的表示方法。弧度制应运而生。
在上图中，设α=a°，则弧长l与角度a成正比。数学家定义了弧度制：在半径为1的圆中，圆心角所对的弧长即为该角的弧度值。例如，π/3弧度表示圆心角的大小。角度制和弧度制的转换关系为：
- 1弧度 = 180°/π
- 1° = π/180 弧度
飞跃：角度的扩展
单位圆是理解三角函数扩展的关键。在单位圆上，从x轴正半轴逆时针旋转α角到射线OP，点P的横坐标是cos α，纵坐标是sin α，斜率是tan α。
通过弧度制，我们可以宣称：任何实数都有其对应的三角函数值！
三角公式
三角函数中有许多重要的公式，包括诱导公式、和差角公式、积化和差/和差化积等。
诱导公式
当三角函数中的角α加上π/2或π等值时，可以使用诱导公式进行转换。例如：
- sin(x + π/2) = cos x
- cos(x + π/2) = -sin x
和差角公式
和差角公式用于计算两个角的和或差的三角函数值。例如：
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
积化和差/和差化积
这些公式用于将三角函数的乘积转换为和差形式，或反之。例如：
- sin α cos β = 1/2 [sin(α + β) + sin(α - β)]
- cos α cos β = 1/2 [cos(α + β) + cos(α - β)]
三角形中的应用：正余弦定理
在三角形中，三角函数的应用尤为重要。正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具。
正弦定理
在任意三角形ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有：
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
其中，R是三角形外接圆的半径。
余弦定理
在任意三角形ABC中，有：
c² = a² + b² - 2ab cos C
当某个角等于90°时，余弦定理就退化为我们熟悉的勾股定理。
三角换元
三角换元是一种将代数问题转化为三角问题的技巧。例如，对于表达式：
x² + y² = 1
可以使用三角换元：
x = cos θ
y = sin θ
这样，原问题就转化为对θ的处理，有时能简化问题的求解。
新成员：反三角函数和双曲函数
反三角函数是三角函数的反函数，用于从三角函数值反推角度。例如：
- arcsin x：正弦函数的反函数
- arccos x：余弦函数的反函数
- arctan x：正切函数的反函数
双曲函数在形式上与三角函数相似，但具有不同的性质：
- sinh x = (e^x - e^(-x)) / 2
- cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2
- tanh x = sinh x / cosh x
有趣的是，双曲函数也满足类似于三角函数的和差角公式。这种联系可以通过欧拉公式来解释，该公式建立了指数函数与三角函数之间的深刻联系。