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几何布朗运动详解：从股票价格模拟到期权定价

创作时间:

作者:

@小白创作中心

几何布朗运动详解：从股票价格模拟到期权定价

引用

CSDN

等

来源

https://wenku.csdn.net/column/7dfrooy4tq

https://wenku.csdn.net/column/3xv3vt4oqz

https://blog.csdn.net/HEHEE1029/article/details/143492522

https://stock.hexun.com/2024-07-12/213532534.html

https://wenku.csdn.net/column/h91ktj5jjj

https://developer.aliyun.com/article/1490560

几何布朗运动（Geometric Brownian Motion，简称GBM）是金融数学中一种重要的随机过程模型，广泛应用于金融建模和衍生品定价。GBM能够有效描述资产价格的随机波动特性，为投资者提供决策依据。本文将深入探讨GBM的定义、特性及其在金融建模中的应用，特别是期权定价。

几何布朗运动的定义与特性

几何布朗运动是一种连续时间随机过程，其增量服从正态分布。GBM的数学定义为：

其中：

(S) 是资产价格
(\mu) 是漂移率，表示资产价格的预期增长率
(\sigma) 是波动率，表示资产价格变动的幅度
(dW) 是维纳过程，表示一个连续时间上的随机过程，其增量服从正态分布

GBM具有以下重要特性：

连续性：GBM是连续时间过程，意味着它可以在任何时间点取值。
正态分布：GBM的增量服从正态分布。
无记忆性：GBM的未来值不依赖于其过去值。
正向漂移：GBM的漂移率通常为正，意味着股票价格倾向于随着时间的推移而上涨。
对数正态分布：GBM的未来值服从对数正态分布，其均值和方差分别为：

GBM在金融建模中的应用

股票价格建模

GBM在股票价格建模中具有重要应用。它假设股票价格的瞬时变化是正态分布的，并且股票的期望收益率和波动率在时间上是常数。GBM的数学模型为：

其中：

(S) 是股票价格
(\mu) 是股票的期望收益率
(\sigma) 是股票的波动率
(dW) 是一个标准维纳过程

模型的参数可以通过历史数据进行估计，常用方法包括极大似然估计和最小二乘法。模型验证则可以通过图形分析和统计检验来完成。

期权定价

GBM在期权定价中扮演着核心角色。最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型，它基于GBM假设标的资产的价格遵循对数正态分布。该模型的期权定价公式为：

其中：

(C) 是期权价格
(S) 是标的资产的现价
(K) 是期权的行权价
(r) 是无风险利率
(T) 是期权到期时间
(N(\cdot)) 是标准正态分布的累积分布函数
(d_1) 和 (d_2) 是模型中的参数

布莱克-斯科尔斯模型通过求解偏微分方程得到，也可以通过蒙特卡罗模拟等数值方法求解。该模型在实际应用中非常广泛，为金融衍生品的定价和风险管理提供了重要工具。

实际案例分析

为了更好地理解GBM在金融建模中的应用，我们通过一个实际案例来展示其具体操作。假设我们要对某只股票的未来价格进行模拟，并计算其看涨期权的价格。

数据准备

假设当前股票价格为100元，无风险利率为5%，波动率为20%，期权到期时间为1年。

模型建立

使用GBM模型进行股票价格模拟：

其中：

(S_0 = 100) 是初始股票价格
(\mu = 0.05) 是无风险利率
(\sigma = 0.20) 是波动率
(T = 1) 是时间长度
(dW_t) 是标准正态分布的随机变量

代码实现

使用Python进行模拟：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
S0 = 100
mu = 0.05
sigma = 0.20
T = 1
n_steps = 252
n_simulations = 1000

# 时间步长
dt = T / n_steps

# 模拟路径
np.random.seed(42)
paths = np.zeros((n_simulations, n_steps + 1))
paths[:, 0] = S0

for t in range(1, n_steps + 1):
    rand = np.random.randn(n_simulations)
    paths[:, t] = paths[:, t - 1] * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * rand)

# 绘制模拟路径
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(paths.T)
plt.title('Geometric Brownian Motion Simulation of Stock Prices')
plt.xlabel('Time Steps')
plt.ylabel('Stock Price')
plt.show()

结果分析

通过模拟，我们可以得到股票价格的多条可能路径。这些路径展示了股票价格的随机波动特性，有助于投资者理解潜在的风险和收益。

期权定价

使用布莱克-斯科尔斯模型计算看涨期权价格：

from scipy.stats import norm

def black_scholes(S, K, T, r, sigma):
    d1 = (np.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    call_price = S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    return call_price

# 参数
S = 100
K = 100
T = 1
r = 0.05
sigma = 0.20

# 计算期权价格
call_price = black_scholes(S, K, T, r, sigma)
print(f'Call Option Price: {call_price:.2f}')

通过计算，我们可以得到该看涨期权的价格，为投资者提供决策参考。