余弦定理：从概念到应用的完整指南

创作时间:

2025-01-21 18:52:11

作者:

@小白创作中心

余弦定理：从概念到应用的完整指南

余弦定理是高中数学中的一个重要定理，广泛应用于解三角形问题。它不仅在数学考试中频繁出现，还是解决实际问题的有力工具。本文将从余弦定理的基本概念出发，通过具体例题讲解其应用场景，帮助读者掌握这一重要知识点。

余弦定理的基本概念

余弦定理描述了三角形的三边与其夹角余弦值之间的关系。对于任意三角形ABC，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，则余弦定理可以表示为：

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) ]

这个公式表明，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值乘积的两倍。余弦定理可以看作是勾股定理的推广，当角C为直角时，cos(C) = 0，余弦定理就退化为勾股定理。

余弦定理的几何意义在于，它揭示了三角形边长与角度之间的定量关系，为解决各种三角形问题提供了理论依据。

典型应用场景

余弦定理在解三角形问题中有着广泛的应用，下面通过几个典型例题来说明其应用场景。

例题1：已知两边及其夹角，求第三边

在三角形ABC中，已知AB = 5，AC = 7，∠BAC = 60°，求BC的长度。

解：根据余弦定理，有

[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60°) ]
[ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} ]
[ BC^2 = 25 + 49 - 35 = 39 ]
[ BC = \sqrt{39} ]

例题2：已知三边，求角度

在三角形ABC中，已知AB = 5，BC = 6，AC = 7，求∠BAC的大小。

解：根据余弦定理，有

[ \cos(BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} ]
[ \cos(BAC) = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} ]
[ \cos(BAC) = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35} ]
[ ∠BAC = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right) ]

例题3：已知两边和非夹角，求第三边

在三角形ABC中，已知AB = 5，BC = 6，∠ABC = 45°，求AC的长度。

解：首先，我们需要用正弦定理求出另一个角的正弦值，然后用余弦定理求边长。这里直接给出结果：

[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(135°)} ]
[ AC = \sqrt{5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} ]
[ AC = \sqrt{25 + 36 + 30\sqrt{2}} ]