三角形个数问题的数学分析与编程实现

三角形个数问题的数学分析与编程实现

问题：由小三角形组成的n层大三角形中包含多少个三角形？

这个问题看似简单，但深入分析后会发现其中蕴含着丰富的数学规律。让我们从递推的角度来分析这个问题，详细解释如何从f(n-1)推导到f(n)。

递推分析

从n-1层的三角形，在下面增加一层三角形，变成n层的三角形，会多出多少个三角形？

假设n层三角形，所有三角形的个数为f(n)。要实现从f(n-1)递推到f(n)，我们需要在f(n-1)的基础上，加上新增的三角形数量。

正立三角形的计算

首先，第n层新增的正立小三角形有2*n-1个。

其次，以第n层三角形底边为下底的、高度为2层的三角形有n-1个，如图(a)所示；以第n层三角形底边为下底的、高度为3层的三角形有n-2个，如图(b)所示，……。易知这些多出来的三角形其实就是1+2+3+…+(n-1)=n*(n-1)/2

倒立三角形的计算

此外，当n≥4时，还有新增的倒立三角形。

从f(n-1)递推到f(n)，只能加上多出来的倒立三角形，即以第n层三角形为顶点的倒立三角形。

如下图所示，以第n层三角形为顶点，高度为2层的倒立三角形，个数是n-2-1；高度为3层的倒立三角形，个数是n-3-2；以此类推，这是一个首项为n-3，公差为-2的等差数列。如果n为奇数最后一项为2，如果n为偶数，则最后一项为1

可以用while循环求这个等差数列的和也容易推导出公式：如果n为奇数，这个等差数列的和是(n-3)(n-2)/2；如果n为偶数，这个等差数列的和是（n-4)(n-2)/2

递归函数实现

根据上述分析，我们可以用递归函数求f(n)，递归函数结束的条件是f(1) = 1。

此外，也可以推导出直接求f(n)的公式。易知，f(n)=f(n-1)+(2n-1)+n(n-1)/2+g(n)，f(1)=1

根据上述公式，可以推导出求f(n)的公式。所以，本题也可以直接根据上述公式求解。

代码实现

下面是用C++实现的代码：

#include<iostream>
using namespace std;

// 求有n层三角形时各种三角形的个数
int f(int n){ 
    if(n==1) return 1;
    int cnt = f(n-1);
    cnt += 2*n-1; // 第n层小三角形个数
    cnt += n*(n-1)/2; // 以第n层为底边的大三角形个数
    int k = n-3; // 以n层三角形为顶点，高度为n层的倒立三角形的个数
    while(k>0){
        cnt+=k; k-=2;
    } 
    return cnt;
}

int main()
{
    int n; cin >> n;
    cout << f(n) << endl;
    return 0;
}  

通过上述分析和代码实现，我们可以清晰地看到问题的解决过程。这个问题不仅考验了我们的数学思维，还锻炼了我们的编程能力，是一个非常好的学习材料。