2024年数学重大突破：朗兰兹猜想获证，AI首登IMO领奖台

创作时间:

2025-01-22 00:16:37

作者:

@小白创作中心

2024年数学重大突破：朗兰兹猜想获证，AI首登IMO领奖台

2024年是数学领域取得重大突破的一年。从几何朗兰兹猜想的证明到AI在数学领域的应用，从高维球体堆积问题的新解到数论领域的重要进展，这一年见证了数学研究的蓬勃发展。

几何朗兰兹猜想被证明

图源：Nan Cao|Quanta

2024年最大的数学成果之一来自朗兰兹纲领，这是一个有着50年历史的雄心勃勃的愿景，如果实现，将连接数学研究的不同领域。它的目标本质上是重新绘制数学地图——将各个大陆合并成一个统一的盘古大陆。

但证明朗兰兹纲领的实际结果往往极其困难。这些命题本身非常复杂和技术性很强，更不用说证明它们所需的技术了。

1980年代，一位数学家提出了该纲领关键组成部分之一的几何版本——几何朗兰兹猜想，其中涉及称为“层”（sheaf，或“束”更合适）的深奥数学对象。该猜想被视为朗兰兹纲领的核心部分，但几十年来，没有人能够解决它——直到今年。这个证明对于该纲领的其余部分来说是一个巨大的福音，数学家们很高兴在接下来的几年里探索它的后继成果，他们相信这将产生深远的影响。正如一位数学家所说，“它将渗透学科之间的所有壁障。”

AI人工智能的作用日益增强

如果以正确的方式看待，椭圆曲线可以像鸟一样成群。

视频制作：Paul Chaikin|Quanta

当诸如ChatGPT（一种“大语言模型”）之类的新人工智能系统首次引入时，它们的数学能力只是模因（meme）的东西，而且不是一种好的方式。聊天机器人无法正确做加法，更不用说解决更复杂的应用题了。至于产生成熟的证明——算了吧。当谈到数学时，人工智能似乎只会继续挣扎。

但今年，谷歌DeepMind的新模型将人工智能变成了国际数学奥林匹克竞赛的有力竞争者，这是世界上最重要的高中生数学竞赛。一月份，该公司发布了AlphaGeometry，这是一个能够证明几何问题的模型，几乎可以与人类金牌得主媲美。（参阅）半年内，AlphaGeometry 2可以轻松获得金牌，并且当与谷歌的大语言模型Gemini集成时，可以很好地证明更普遍的问题，从而在完整的奥林匹克考试中获得银牌。DeepMind将这个最新模型称为AlphaProof。

AlphaProof是一项巨大的成就。它展示了人工智能快速增长的数学能力，并为该技术有一天如何在原创研究中充当数学“副驾驶”带来了希望。

三月份，量子杂志报道了这种情况是如何发生的。2022年，数学家利用机器学习发现了所谓椭圆曲线的重要方程中的奇怪模式。这些模式美丽得令人吃惊：如果你从正确的角度观察椭圆曲线的某些数值特性，它们就像鸟儿成群结队的方式，这种现象被称为“椋鸟群飞”（murmuration）。此后的几年里，研究人员一直试图理解这些数学“椋鸟群飞”现象。在此过程中，他们在数论的许多不同对象中发现了它们，从而产生了重要的新工作和见解，包括发展出一种新颖的函数。

随着人工智能方法变得更加复杂，这种故事只会变得更加普遍。我们以前已经看到过——计算机如何逐渐进入数学世界，并为数学家探索开辟新的前景。现在，数学家们正试图预测人工智能会是什么样子。

球堆积记录被打破

更密集的方法来堆积高维球体

视频制作：Dave Whyte|Quanta

与几何朗兰兹猜想不同，球体堆积问题很容易表述：如何排列相同的球体以填充尽可能多的体积而不重叠？在三维空间中，你可以将球体排列成金字塔形的一堆，就像杂货店里堆放橙子的方式一样。但在更高维度呢？

直到2016年乌克兰数学家Maryna Viazovska（玛丽娜·维亚佐夫斯卡，1984 -）证明特定的晶格对于在8维和24维空间中填充球体是最优的，之前没人知道任何高于3维的答案。在所有其他维度中，确切的答案仍然未知。

数学家还希望找到一个通用的解——一个公式，提供一种在任意高维度上密集堆积球体的方法，即使这种堆积并不完全最优。4月，量子杂志报道了75年来在该版本球堆积问题上的首次重大进展。该成果提高了以前堆积的效率，同时利用了一种新颖的方法：数学家们没有像维亚佐夫斯卡那样以良好、有组织的方式堆积球体，而是使用图论以非常无序的方式堆积。

这并不是2024年唯一的堆积结果。两位数学家——包括托马斯·黑尔斯（Thomas Hales，1958 -），他在1990年代证明了在三维空间中堆积球体的最优方法——也证明了关于最糟糕的堆积形状的命题。

数学家找到50年前米尔诺猜想的反例

图源：Alex Eben Meyer|Quanta

证明古老猜想的正确性很重要，但反驳它们也很重要。正如一位数学家告诉量子杂志的那样，“我们必须保持怀疑，即使是对于直觉上看起来很可能是真的事情。”这种方法带来了另一个重要的几何证明：三位数学家找到了米尔诺猜想的反例，米尔诺猜想是一个有50年历史的问题，涉及物体的整体形状和放大时的样子之间的关系。这项工作涉及一种新型结构的开发，揭示了可能形状的宇宙比数学家想象的还要奇怪——尽管他们一直认为它相当奇怪。