用导数找极值：牛顿的微积分革命
用导数找极值：牛顿的微积分革命
在数学领域，求极值是一个经典且重要的问题，不仅在学术研究中占有重要地位，还在工程、金融、机器学习等多个领域有着广泛的应用。本文将带你深入了解牛顿如何巧妙地解决这一问题，他的方法不仅开创了微积分的新篇章，还为后世提供了强大的数学工具。
在数学领域，求极值是一个经典且重要的问题，不仅在学术研究中占有重要地位，还在工程、金融、机器学习等多个领域有着广泛的应用。本文将带你深入了解牛顿如何巧妙地解决这一问题，他的方法不仅开创了微积分的新篇章，还为后世提供了强大的数学工具。
从基础出发：传统求极值方法
在高中数学中，我们通常通过公式或几何法来求解极值问题。然而，这些方法在面对复杂函数时往往显得力不从心。例如，在机器学习中，目标函数的最优化处理是一个核心问题；在金融领域，结构化投资产品的设计也需要解决最优化问题；在企业管理中，各类规划问题同样涉及最优化。
那么，什么是极值问题呢？简单来说，就是寻找函数的最大值或最小值。对于有限集合而言，寻找最大值相对简单，可以通过比较算法实现。例如：
def FindLargest(arr):
largest = arr[0]
for num in arr:
if num > largest:
largest = num
return largest
然而，对于无限集合的函数，这种方法就不再适用。例如，函数y = -x^2 + 4x的最大值问题，就不能简单地通过代入几个数值来解决。虽然通过图像可以直观地看到最大值约为4，但数学要求我们进行严格的证明。
牛顿的创新：将极值问题转化为函数动态变化趋势的研究
牛顿的伟大之处在于，他没有将最优化问题视为简单的数量大小比较问题，而是将其视为研究函数动态变化趋势的问题。这一转变，为解决极值问题开辟了全新的思路。
让我们以抛物线y = -x^2 + 4x为例，来理解牛顿的思想。为了便于理解，我们关注最高点附近的变化。
在图中，上半部分是前述抛物线，横轴被放大了一倍，以更清楚显示曲线变化细节。各色曲线代表不同点的切线。可以看出，从左到右，抛物线由快变慢，至平稳，最后下降。切线由陡峭变平缓，最高点处变为水平线，随后斜率转负。
量化分析显示，在x=0处，切线斜率（导数）为4。到x=0.5时，斜率减至3，然后依次减至2，1，0，-1，-2等。因此，若将导数函数绘入图中，就呈现出一条直虚线。对比抛物线与导数（虚直线），你是否注意到，曲线达到最高点时，切线恰为水平，导数为零？
这并非巧合。若回顾最大值和导数的定义，两者之间的一致性便不难理解。最大值的含义在于，某点a的函数值f(a)比周围点都大。从最大值点稍微偏移，会发现那些点的函数值略小。在二维图上，这意味着与左右邻点比较。左侧点的函数值小于a，表明左侧点变化趋势向上，导数正；右侧点亦小于a，表明变化趋势向下，导数负。从正导数转为负导数的过程中，必经过导数为零的点，即最大值所在。
因此，寻找函数f(x)的最大值，转化为寻找导数f’(x)为零的点的问题。这一过程实际上是解方程，相比直接求最大值更为简单。这种思路正是牛顿区别于前人的地方。他没有直接解决难题，而是将比较数值大小的问题转化为寻找函数变化拐点的问题，后者更易解决。但要将这两个问题等同，需要一种新工具——导数。
有了导数，求最大值的问题转化为解方程问题。这一方法的优势在于，它适用于任何函数，无需为每种特定函数寻找解题技巧。这也是微积分成为强大数学工具的原因。
方法的局限性与完善
当然，这种方法并非完美无瑕。例如，对于立方函数f(x) = x^3，其导数f’(x) = 3x^2。当x=0时，导数为零，但x=0并非f(x)的最大值点，因为立方函数的最大值最终趋于无穷大。
解决方法是，在找到导数为零的点后，检查其前后点的导数符号是否从正转负。若是，则为最大值点；否则不是。这样补救了一处漏洞。
导数求最大值的方法还有其他漏洞，例如下述函数。它有两个导数为零的点，均符合导数从正转负的条件，但最大值只有一个。左侧点高于右侧，因此左侧为真正最大值，右侧为次之。
对此情况，数学家们首先更精确地定义了最大值。他们将最大值分为两类：
- 极大值或局部最大值：即某点的函数值仅需比周围点高；
- 整个函数的最大值。
因此，一个函数可以有多个极大值，但只能有一个最大值。这样，最大值的定义便无矛盾。但如何在众多局部极大值中找到最大值呢？遗憾的是，目前仍无系统方法解决此问题，只能逐一比较。实际上，这也是计算机进行机器学习时面临的一大挑战，尚未得到解决。
启示与总结
牛顿等人通过研究函数变化趋势，发明了一种追踪函数从低到高，至平稳，再下降的变化过程来求最大值的方法，使人类对事物的理解由静态转向动态。这种方法通用，不局限于特定问题技巧。当然，这种方法也有漏洞，我们需逐一弥补。
此外，牛顿的方法给我们两点重要启示：
- 牛顿通过数据模型化，用公式间接思考问题，从侧面反映事物的本质，这种模型思维值得学习！这也是目前科学和工程常用的方法。
- 对于三次方函数和其他波动函数的极值问题，虽然最后都会通过if判断进行解决，但是一个模型就可以过滤掉几乎多大半需要思考的问题，留下来的只是小部分的问题处理。所以综合两点可以看出，我们做事情，也要能找到自己的模型，可以快速帮助我们简化操作步骤提高效率才是王道。