三角函数和角公式

三角函数和角公式

三角函数和角公式是数学中的重要概念，广泛应用于数学计算和三角恒等式的推导。本文将详细介绍三角函数和角公式的证明、用途及其在复数域内的推广，并追溯其历史发展。

实数域内和角公式的证明

相关等式的证明

证明：
。 （1）

1. 范围内的等式推导
   当
   且
   时，在平面直角坐标系xOy中,取单位圆（以坐标原点为圆心，1为半径的圆），在圆上取点A:
   和点B：
   ，由实数域上三角函数的定义可得图1和图2，其中和均是x轴非负半轴绕O点逆时针旋转形成的角，则射线OB绕O点逆时针旋转到射线OA位置（旋转角小于2）形成的角大小为
   ，由
   的取值范围可得：
   。点A和点B的坐标由下列两个向量给出：
   对平面上的两个向量
   它们的数量积定义为实数
   。数量积满足关系式：
   其中
   表示向量
   逆时针旋转到向量
   所绕过的角度。由定义可知：
   （2）。

（i）当
时，如图1所示，

,于是：
由（2）式得：

图1

图2

（ii）当
时，如图2所示，

，于是：
由（2）式得：

当
且
时，同理可得
，因为
，所以
。

这样，就证明了当
时等式成立的结论，接下来将把它推广到实数范围内。

2.实数范围内的等式推导
为了叙述方便，给出引理：

。

下面对引理进行证明：
对任意的
，取k=
，由
得，
，由此，可取
。

下面证明这样的k和
是唯一的，假设存在
也满足条件，则有
，
即
，因为
，所以
，即
，又因为
所以
，即
，进而
，引理得证。

由引理，对任意的实数
和
，分别存在对应的整数
和
内的实数
，使得
，
可得：
。

于是，
得证。

和角公式的证明

接下来，将由（1）式推导出和角公式，
用
替换（1）式中的
，可得：
用
替换（1）式中的
，可得：
因为
，所以：

。

当
，
时，有：

这样，就推导出了和角公式。

和角公式的用途

数学计算

利用和角公式，可以更方便地计算一些角的三角函数值，例如，当计算
的值时，由
立刻就能得到：

通过和角公式，可以获得辅助角公式：
，
其中
，
，这个运算技巧可以简化计算。

三角恒等式的推导

和角公式是推导三角函数恒等式的基础，利用和角公式，还可以推导出差角公式、二倍角公式等。
用
替换和角公式中的
，可得差角公式：
由和角公式可得：
，
当
这样，就得到了二倍角公式：

通过和角公式和差角公式的加减可以得到积化和差以及和差化积公式，例如，将
和
的等式两边相加，可以得到：
，进而：
，
令
，
，可解得
，
，代入上述等式，可得：

用类似的方法，可以得到积化和差公式：
，
，
，
，
以及和差化积公式：
，
，
。

复数域内的和角公式

由欧拉公式
可得
两式分别相加、减可得三角函数的指数定义：
对任意的
由定义式可得：
故
在负数域上仍然成立，同理可证三角函数的和、差角公式在复数域上均成立。

这样，就将三角函数和角公式推广到了复数域内。

通过复数域内的和角公式，可以更方便地计算出复数的三角函数值，设
，其中
，则：

其中
分别称作双曲的正弦函数和余弦函数。

同理可算出其他的三角函数值。

发展历史

公元2世纪，古希腊数学家和天文学家托勒密为造出从
度到180度每隔
度的所有弧的弦表（相当于从
度到90度每隔
度的正弦表），提出了后人以其名字命名的定理：圆内接四边形两组对边乘积之和等于两对角线乘积。通过这个定理，人们推导出了三角函数的和角公式。公元10世纪，阿拉伯数学家阿布·韦发推导出了和角公式的等价形式：
公元12世纪，印度数学家婆什迦罗也得到了和角公式。

和角公式成为了数学家们研究三角函数的有力工具，为许多三角恒等式的发现奠定了基础。