巧用等边三角形：这道初中几何动点题这样解

巧用等边三角形：这道初中几何动点题这样解

周末在家，看到孩子试卷上的一道几何题，求与动点相关的两线段长度之和的最小值。研究了好半天才想出一种解法。感觉挺有意思，拿出来分享一下。

题目

如上图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，D是线段CB上一动点，以AD为边在AD下方作等边三角形ADE，若S△ABC=2√3，则DE+BE的最小值为___________。

解题思路

1. “求与动点相关的两线段长度之和的最小值”的问题，绝大多数是通过“两点之间，线段最短”的原理解决：即让两线段相连，固定点位于两端、动点位于中间，动点运动至三点共线时，线段长度之和最小。DE、BE中涉及的B、D、E三点中，有两点为动点，不具备求解的基本条件。

2. 要多多利用等边三角形，因为它可以提供更多的角度值和边长值。△ADE为等边三角形，所以DE+BE=AD+BE。此时，两条线段中有A、B两点固定,但动点D、E未连接。下一步设法让其连接。

3. 再看△ABC，通过三个角度值30°、60°、90°，尤其是60°，我们应该敏锐的想到这是等边三角形的一半。将其恢复为等边三角形，如图△ACF，B点是AF边的中点。

4. △ACF和△ADE都是等边三角形，从图中容易看出，△ADE相当于△ACF绕A点进行了顺时针旋转并缩小，于是，∠CAD=∠BAE。

5. 再次利用等边三角形边相等的特点，在AC上取中点G。此时，AG=AB，又因为AD=AE，得到△AGD≅△ABE，GD=BE，于是BE+DE=GD+AD，实现了“两线段相连，两段为固定点，中间为动点”。

6. 但是，似乎A、G、D只有当D、C重合时才共线。显然，此时的线段长度之和并不是最小。再次利用等边三角形的特性，在CF上取中点，得到DH。显然DG=DH，此时DE+BE=AD+DH。

7. D点沿CB移动至A、D、H共线时，DE+BE=AD+DH=2√3，为最小值。

完整的解题过程

第一步：做以下辅助线

1. 延长AB至F，AB=BF
2. 连接CF
3. 分别取AC、CF的中点G、H，连接GD、DH、AH

第二步：求证△AFC为等边三角形（其实结果很直观，可以不求证）

1. ∵AB=BF、∠CBA=∠CBF=90°、BC=BC
2. ∴△ABC≅△CBF
3. ∴∠ACB=∠BCF=30°
4. ∴∠CAF=∠AFC=∠ACF=60°
5. ∴△ACF为等边三角形

第三步：求证DH=BE

1. ∵∠CAB=∠DAE=60°且∠DAB为公共角
2. ∴∠CAD=∠FAE
3. ∵AG=AB、AD=AE
4. ∴△GAD≅△BAE
5. ∴GD=BE
6. ∵GD=DH
7. ∴DH=BE

第四步：计算DE+BE的最小值

1. 通过以上证明，可以得到：DE+BE=AD+DH
2. 从图形中，容易得到，当A、D、H共线时，AD+DH值最小，也就是DE+BE值最小
3. 根据已知数据得，AH=BC=S△ABC×2÷AB=2√3×2÷2=2√3