双十字相乘法：中考数学中的解题利器

双十字相乘法：中考数学中的解题利器

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因式分解是初中数学的重要内容，也是解决代数问题的基础。在众多因式分解方法中，十字相乘法因其直观易懂、操作简便而广受欢迎。然而，面对更复杂的多项式时，传统的单十字相乘法可能显得力不从心。这时，双十字相乘法便应运而生，成为解决这类问题的利器。本文将详细介绍双十字相乘法的原理、步骤及其在中考数学中的应用。

在介绍双十字相乘法之前，让我们先回顾一下单十字相乘法的基本原理。对于形如 (ax^2 + bx + c) 的二次三项式，十字相乘法的关键在于将二次项系数 (a) 和常数项 (c) 分别分解为两个因数的乘积，并通过交叉相乘找到满足条件的一次项系数 (b)。

例如，分解 (x^2 - x - 12) 时，我们首先将 (1)（(x^2) 的系数）写在左上角，(-12) 写在右下角。然后，找到 (-4) 和 (3)，因为 ((-4) \times 3 = -12)，同时满足 (1 \times (-4) + 1 \times 3 = -1)。因此，原式可分解为 ((x - 4)(x + 3))。

双十字相乘法是十字相乘法的扩展，主要用于分解形如 (Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F) 的二元二次多项式。其基本思路是通过两次十字相乘，将复杂的多项式逐步简化。

具体来说，双十字相乘法首先将 (Ax^2 + Bxy + Cy^2) 部分分解为两个一次二项式的乘积，然后再将剩余部分与之结合，完成整个多项式的因式分解。

1. 分解二次项：将 (Ax^2 + Bxy + Cy^2) 分解为 ((a_1x + c_1y)(a_2x + c_2y)) 的形式。这一步类似于单十字相乘法，需要找到合适的因数组合，使得交叉相乘的结果等于 (Bxy)。

2. 合并剩余项：将分解后的结果与 (Dx + Ey + F) 结合，形成新的十字相乘结构。这一步需要仔细调整因数，确保所有项都能正确匹配。

3. 验证结果：通过展开验证分解结果是否正确，确保所有项都准确无误。

让我们通过一个具体例题来演示双十字相乘法的应用：

分解因式：(3x^2 + 5xy - 2y^2 + x + 9y - 4)

步骤1：分解二次项

首先，分解 (3x^2 + 5xy - 2y^2)。我们需要找到两组因数，使得交叉相乘的结果等于 (5xy)。

尝试组合：

• (3x) 和 (-y)（来自 (3x^2) 和 (-2y^2)）
• (x) 和 (2y)

交叉相乘验证：

• (3x \times 2y = 6xy)
• (x \times (-y) = -xy)
• (6xy - xy = 5xy)，满足条件

因此，(3x^2 + 5xy - 2y^2) 可分解为 ((3x - y)(x + 2y))。

步骤2：合并剩余项

将分解结果与剩余项 (x + 9y - 4) 结合，形成新的十字相乘结构：

[
\begin{array}{c|cc}
& 3x - y & x + 2y \
\hline
x & 3x^2 - xy & x^2 + 2xy \
9y & 27xy - 9y^2 & 9xy + 18y^2 \
-4 & -12x + 4y & -4x - 8y
\end{array}
]

通过调整因数，我们发现：

• (3x - y) 与 (x + 2y) 的组合已经确定
• 剩余项 (x + 9y - 4) 可以通过适当分配与之匹配

最终分解结果为：
[
3x^2 + 5xy - 2y^2 + x + 9y - 4 = (3x - y + 4)(x + 2y - 1)
]

在中考数学中，双十字相乘法常用于解决复杂的因式分解问题。例如：

分解因式：(2x^2 - 7xy - 22y^2 - 5x + 35y - 3)

步骤1：分解二次项

首先，分解 (2x^2 - 7xy - 22y^2)。尝试组合：

• (2x) 和 (-11y)
• (x) 和 (2y)

交叉相乘验证：

• (2x \times 2y = 4xy)
• (x \times (-11y) = -11xy)
• (4xy - 11xy = -7xy)，满足条件

因此，(2x^2 - 7xy - 22y^2) 可分解为 ((2x + 2y)(x - 11y))。

步骤2：合并剩余项

将分解结果与剩余项 (-5x + 35y - 3) 结合，通过适当调整因数，最终分解结果为：
[
2x^2 - 7xy - 22y^2 - 5x + 35y - 3 = (2x + 2y - 1)(x - 11y + 3)
]

1. 观察与尝试：双十字相乘法需要一定的观察力和尝试精神，特别是在分解二次项时，可能需要尝试多种因数组合。

2. 符号注意：在交叉相乘和合并项时，务必注意各项的符号，避免因符号错误导致结果偏差。

3. 练习与熟练：双十字相乘法虽然步骤明确，但熟练掌握仍需大量练习。通过不断练习，可以提高解题速度和准确性。

双十字相乘法是解决复杂多项式因式分解的有效工具，尤其在中考数学中具有重要应用。通过掌握其原理和步骤，考生可以更轻松地应对各类代数题目，提高解题效率。然而，任何方法都需要通过大量练习才能熟练掌握，因此，建议考生在备考过程中多做相关练习，巩固这一重要技能。