一文读懂稳态热传导：从基础概念到傅里叶定律

一文读懂稳态热传导：从基础概念到傅里叶定律

本文是一篇关于传热学基础中稳态热传导的科普文章。文章从热量传递的基本概念出发，详细介绍了稳态热传导的相关知识，包括热量与温度的关系、温度场的基本知识、傅里叶定律等内容。文章内容深入浅出，既有理论阐述，又有实际应用的解释，适合对节能低碳领域感兴趣的读者学习参考。

一、热量的传递

在热工设备中，燃料和空气（氧气）相互接触并在一定的条件下燃烧后，可以产生热量。我们的工艺目的其实就是使待加热的原料获得这些热量。然而，燃料燃烧后的产物与物料之间毕竟属于两个物质系统，燃烧产物所携带的热量以及燃烧过程释放的热量，必定需要一定的传递方式，才能达到或作用在原料表面及其内部。热能有效传递的方式或过程就是我们所要重点研究并阐述的“热量传递”。

热量的传递可以分为“有效传热”和“无效传热”。根据热力学第一定律，能量是守恒的；也就是燃料燃烧产生的总热能是恒定的。从工程实际出发，我们希望通过一定措施和手段，尽量提高有效传热的份额，并降低无效传递的比例。因为有效热份额的提升会提高热工设备的热效率，并可以支撑企业生产达成优质、高产、低能耗和低污染等目标。这也是企业节能低碳技术人员以及节能技术咨询人员什么要学习本章节内容的真正目的。而要实现这样的生产目标，我们必须要首先搞清楚热量传递的方式和相应的规律（即传热学）。

热量的传递的方式有三种：传导传热（或称热传导，heat conduction）、对流传热（或称热对流，convection）和辐射传热（或称热辐射，radiation）。在实际工程问题中，大部分情况是以一种传热形式为主，其他一种或两种为辅的综合传热方式；只不过是不同传热形式在特定的情景中所占的比重和份额不同而已。

接下来讲介绍稳态热传导，作者倡导将所有基础理论，包括每一个公式，每一个定理，都尝试性地“映射”到企业生产实际。所谓：博采众长，海纳百川，因地制宜，精为己用。

二、稳态热传导

1、热量与温度的关系

传导传热一般简称热传导或者导热。从微观上讲，导热是由于物质内部微观粒子运动而产生的能量传递及变化的现象，该现象宏观表现为物质温度的变化。我们认为说温度是物质热力学能在宏观上的综合表征。假设一个物质系统内存在温差，那么将发生包括导热在内的不同形式的热量传递。当热量传递完毕，系统的宏观特征也将通过最终的恒定温度得以展现。换句话说，温差引起热传递，传递完毕后的终态也将通过系统内双方的温度变化得以体现。

不同的温度引起热传递，这是“因”，而传递后的“果”则是趋于均衡一致的温度。“因”和“果”均源于“温度”，而本质之处在于：不均衡（温差）通过热传递的方式向均衡（恒温）的转变。说到这里，我们又绕到了热力学第二定律。让我们就此打住，暂不深究。

通过以上叙述，可以看出，导热与温度存在着密切的关系。热量我们其实看不见摸不着，而温度我们却可以触摸感受也相对方便测量。所以可以通过温度的分布和变化来研究热量的传递。

2、需要了解的基本知识

那么首先让我们了解一下温度场。温度场是系统中某一时刻的温度分布。也就是说：“场是分布”。我们探讨一个问题的时候，都是要明确时间基准或条件，特定时刻温度的分布就是该时刻的温度场。以上内容是使用文字进行的描述，如果要上一个层次，那就需要使用数学语言进行抽象并描写。其数学描述为：“温度场是空间坐标（x,y,z）和时间τ的函数”，具体表示为：

这其实是一个方程，我们可以这么通俗地理解：方程左边t是温度，为因变量；方程右边的f代表“function”是函数的意思。这个方程中含有空间坐标的三个自变量，以及时间自变量，共计四个自变量。换句话说，温度是一个受空间位置和时间影响的函数。我定量的研究换热，主要的目的就是要得到这样的一个具体的温度函数表达式，具体它长什么样子，需要根据情况确定。

如果温度的变化仅仅与一个空间坐标有关，那就是一维问题；温度变化与两个空间坐标有关，则是二维问题；如果温度变化与三个空间坐标都有关系，那么求解这个多维函数就变成了三维问题。同理，如果温度变化与时间无关（温度t对时间τ的导数为零，∂t/∂τ=0），那就是稳态问题；如果温度的变化与时间有关（∂t/∂τ≠0），则是非稳态问题。可以看出，空间与时间条件的组合，将构成了六类温度场，另外还有极限情况，即零维，此时无换热，我们不研究。

我们有些朋友可能见过一些商业软件对该方程（函数）进行的求解结果，其最终的显示都是彩色的图形或者动画，不同颜色代表了不同的温度，红色温度高，蓝色温度低。这类图形或动画其实就是我们将不同的空间和时间自变量带入后形成的总效果。

从上边图像中我们可以了清晰的了解到温度的分布，也就是系统中哪里温度高，哪里温度低；同时我们也很容易判断系统哪里的温度变化快，哪里的温度变化慢。总之有了基于温度分布函数绘制出来的温度分布图，我们可以较为轻松地掌握目标系统的温度分布规律，并依据此规律采用恰当的手段实现我们的工程目的，包括强化换热或者削弱换热。

以上这八张图向大家展示了等温面和等温线的视觉直观。以三维空间的视角，等温面是温度相等的点连接成的一个面。等温面上温度均相等。等温面在空间中，可能是一个凹凸不平且连续的一个面，不同温度的等温面按照其不同的温度，分布在我们所研究的系统空间中。如果我们用“刀”在等温面上以一个任意角度切割一刀，那么刀面作为平面必然与等温面相交出来一条线，这条线就是等温线。等温线让我们更加容易在二维的平面上来观察温度的变化。等温线不会相交，其疏密程度代表了温度的变化快慢。从上边六张连续随时间变化的图片可以看出，随着时间阶段的推移，温度分布的变化会通过等温线的变化而显现出来，而且等温线在局部会呈现疏密的情况。二维平面上，等温线密度越高的区域，代表其空间上，该部分的温度变化更快；而平面上等温线密度低的区域，则对应空间上的温度变化率较慢。

3、傅里叶定律的介绍

上文的判断和讨论均为定性分析，从科学严谨的角度，我们需要有定量分析来帮我们进行科学的研究。比如，某一点或位置的温度变化大，某一点或位置的温度变化小，其变化具体大了多少？其数值是多少？只有这样才能为我们后续所采取的手段提供科学的数据支撑。所以，我们必须要借助数学工具。

但是这部分内容，需要读者有一定的数学基础，对于我们企业部分技术人员来说，要想充分理解可能需要消耗一定时间和精力去补充相关数学知识，具体包括：求极限、方向导数、梯度、以及空间向量等等。我一再强调，我们不是讲数学，不会沉浸在数学的讲解和推导。那么既然离不开数学，又不能深陷数学深奥的理论分析，怎么办呢？我想这样处理：在文章中，我将直接给出准确的结论，并对需要理解的符号和公式进行通俗化的讲解，旨在使读者快速理解并实现应用。这样的处理方式其实是有难度的。因为既要正确阐述原理，又不能晦涩难懂，这是不容易做到的。

在研究稳态热传导时，我们会引入一个温度梯度（temperature gradient）的概念，其符号是grad t。

这里的n是垂直于等温面（二维平面上等温线代表了等温面）上的单位矢量，梯度是既有大小也有方向的矢量。当△n趋近于0的时候我们取极限，就得到了空间中在n的方向上的温度梯度。这里注意，这个n方向是空间上的任意方向，利用空间向量的理论，这个任意方向可以由x,y,z三个方向向量进行合成。具体数学表示为：

这里的倒三角▽称为哈密尔顿算子，是一个矢量微分算子，它就是一个数学符号，看上去比较复杂，但是实际上并不难理解。i,j,k分别代表，x,y,z三个空间坐标轴上的单位矢量。而这里都使用了多元微分符号∂。梯度定义式中的∂t/∂n，表示温度的变化不仅仅与三维空间中任意一维，如x坐标有关，也同时与y,z坐标轴方向有关。所以这里使用了偏导数。同理汉密尔顿算子也是代表了空间任意方向，这个任意方向都分别受x,y,z三个空间坐标方向的影响，所以就使用了偏微分符号。

温度梯度可用来解释和定量分析我刚刚上文提到的温度变化快慢的问题。温度梯度是温度变化最快的方向，也就是如下图中的垂直于等温线的法线方向。通俗地说，空间中不管温度向哪个方向变化，路程有近有远，但是只有垂直于法线方向其“路程”或“距离”最短，也就是说，在最短的距离就实现了△t的温度变化，所以，其比值最大，也就是温度变化率最大，那么这个变化率最大的温度变化率就是温度梯度。注意这里的温度变化指的是，温度从t变化到了t+△t，温度是向升高的方向变化，而热量的传递是从高温向低温传递。所以，热量传递的方向与温度升高的方向是正好相反的。

这里补充两个概念，一个是热流密度，简称热流。一个是传热量。热流密度是沿着温度梯度的方向单位时间，单位面积所传递的热量，用符号q来表示，单位是W/m2。它是一个矢量，有大小也有方向。传热量是单位时间内，通过某个面积（不是单位面积）的总热量，用符号Q来表示，其单位是瓦W。

有了以上的概念后，我们就隆重地介绍一下导热的基本定律，即傅里叶定律。我们说，在各向同性的物体中各点的热流密度矢量与该点的温度梯度成正比，就是傅里叶定律，其任意方向上的表达式为：

在空间中，如果使用不同方向的空间矢量合成表示，我们有：

如果是确定的一个方向如x方向的一维问题，那么的傅里叶定律为某点的热流密度与该方向的温度变化率成正比：

此时，在方程的两边乘以一个传热的面积A，那么就得到了我们通常看见的傅里叶定律，即传热量等于热流密度乘以传热面积，与导热系数与温度变化率、传热面积三者成正比。具体公式如下：

其中Q是传热量，A是传热截面积，λ是导热系数，△t是物体导热两个表面的温差，δ是物体传热面之间的厚度。在Simscape的某块中有热传导模块，感兴趣的话可以学习。

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fouier）1768-1830，男爵，法国数学家，物理学家。数学中的傅里叶变换至今发挥着重要作用。物理领域中，他最早研究了太阳辐射加热地球的现象，被誉为地球“温室效应”的发现者。所以搞碳的人，应该对其有个必要的了解。