通俗易懂的讲解奇异值分解(SVD)和主成分分析(PCA)

通俗易懂的讲解奇异值分解(SVD)和主成分分析(PCA)

奇异值分解（SVD）和主成分分析（PCA）是机器学习和数据科学领域中非常重要的概念，它们在降维、推荐系统、自然语言处理等领域都有广泛的应用。本文将从特征分解开始，逐步介绍SVD和PCA的基本概念、数学原理及其应用，帮助读者深入理解这两个重要的数学工具。

特征分解

首先，我们简单回顾下特征值和特征向量的定义。在几何学中，矩阵可以看作是一种线性变换，而特征向量就是在这个变换下只发生伸缩，方向不变的非零向量，伸缩的比例就是特征值。

对称矩阵的特征分解

对称矩阵的特征分解具有特殊的意义，因为对称矩阵的特征向量是正交的，这使得对称矩阵的特征分解具有很多优良的性质。

奇异值分解（SVD）

定义

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它可以将一个任意的m×n矩阵分解为三个矩阵的乘积：

A = UΣV^T

其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值。

奇异值求解

奇异值可以通过求解矩阵A的转置与A的乘积的特征值来获得，具体来说，矩阵A的奇异值是矩阵A^TA的特征值的平方根。

实际计算奇异值

在实际计算中，通常使用数值方法来求解SVD，例如QR算法、Lanczos算法等。

特征值分解和奇异值分解的区别

• 特征值只能作用在一个m×m的正方矩阵上，而奇异值分解则可以作用在一个m×n的长方矩阵上。
• 奇异值分解同时包含了旋转、缩放和投影三种作用，奇异值分解公式中U和V都起到了对A旋转的作用，而Σ起到了对A缩放的作用。特征值分解只有缩放。

主成分分析（PCA）

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维方法，它通过寻找数据的主成分（即数据方差最大的方向）来实现降维。PCA可以看作是SVD在数据特征提取上的应用。

SVD在机器学习中的应用

SVD在机器学习领域有广泛的应用，包括但不限于：

• 降维算法：通过保留最大的几个奇异值来实现降维。
• 推荐系统：通过矩阵分解来预测用户对物品的评分。
• 自然语言处理：在词向量表示、主题模型等领域都有应用。

数学基础

矩阵和正交向量

正交向量：若两向量，它们的点积为0，则它们互相称为正交向量，如（1，1，0）和（1，-1，0）。

正交矩阵

正交矩阵是一个方阵，其行向量和列向量都是单位正交向量。

SVD的实现

在Python中，可以使用numpy库的linalg.svd函数来实现SVD。该函数的参数含义如下：

• a：待分解的矩阵。
• full_matrices：是否返回完整的U和V矩阵，默认为True。
• compute_uv：是否计算U和V矩阵，默认为True。

PCA与SVD的关系

PCA可以看作是SVD的一个特例。在对数据矩阵进行SVD分解后，通过保留最大的几个奇异值和对应的左奇异向量，就可以实现PCA的降维效果。

如上图所示，黑点是数据点，那么长的那个红箭头就是数据最主要的方向，也就是最显明/差异最明显的特征。求法就是对于所有数据，找出vi使得数据在vi方向上的方差最大，而且vi要满足与v1~v(i-1)张成的空间正交。