关于“数学/艺术”我们能说些什么？
关于“数学/艺术”我们能说些什么？
数学与艺术的结合是一个令人着迷的话题。从古至今，许多艺术家和数学家都在探索这个领域的无限可能。本文将带领读者深入了解"数学/艺术"这一概念，通过具体的作品案例，阐述其特点、价值和发展方向。
图源：George Hart官网
数学艺术的定义与现状
"数学/艺术"正在成为一个标准术语，但它到底是什么或应该是什么？数学领域往往会随着时间的推移而成熟，通常从孤立研究的例子开始，然后观察联系，注意一般化，对深刻的本质形式化，最终阐明整个主题的组织思想被明确表达。在数学艺术领域有许多令人着迷的例子，可以说些有趣的事，其中有无数明显的联系，但制作数学艺术品的实践尚未被组织成任何一致的框架。我不会在这里尝试任何如此宏伟的事情，但我会建议数学家应该更加努力地关注数学艺术，既创造更多的例子，又批判性地研究它们。有许多未知因素需要澄清和形式化。甚至不清楚该领域应该放在哪里：它是应用数学的一个特定分支，还是从数学和艺术中产生的独立学科？研究有趣的例子是这个成熟过程中的关键一步。
图1《太阳天赋》 George Hart（乔治·哈特），《太阳天赋》（ Solar Flair，与Solar Flare太阳耀斑同音）
在这个直径 5 英尺的户外雕塑中，六十块相同的等离子切割不锈钢交织在一起，同时在 20 个 3 折顶点和 12 个 5 折顶点处相接。基于二十面体的 A₅ 对称性，并以菱形三十面体的 30 个面为基础，该形式传达了一种复杂的几何规则感。
图2《数字》 Jasper Johns（贾斯珀·琼斯），《数字》（Numbers）
这幅画的构图特色是以数字0到9的2×5数组。这些数字似乎只是作为中性物体来承载艺术家的色彩实验，但它们被放置在特定的顺序结构和维度中，而2 和 5 源自对10的因数分解，这引出了是否应该视其为“数学”艺术的问题。
图3《不完整的开放立方体》 Sol Lewitt（索尔·勒维特），《不完整的开放立方体》（Incomplete Open Cubes）
作为二十世纪极简主义和序列主义艺术的典范，这类作品让许多当代观众不禁问“这是艺术吗？”艺术家通过提供一个答案并让观众发现问题来提出谜题。数学家可以将其表达为枚举立方体 12 条边的所有 122 个连接子集，这些边张成 ℝ⊃3; 且模刚性旋转的基数小于12。
图4 2023年联合数学会议美术馆网页的首页
每年联合数学会议和桥梁会议上都会在精心策划的艺术展览画廊中展示各种媒介和数学主题。各种作品可以被认为是艺术、工艺、设计、模型或可视化。
图5《忧郁症 I》 阿尔布雷希特·杜勒（Albrecht Durer），《忧郁症 I》（Melancholia I）
这幅神秘的雕刻包括一个4×4的幻方、一个绘图圆规、一个球体、一个神秘的多面体和其他象征性参考。人们已经做出了各种尝试来解释特定的多面体形状。它是一个立方体，被拉长成菱面体，然后被截断成可内切的球体吗？它可能象征着什么？
图6《颠倒世界，耶路撒冷》 Anish Kapoor（安尼什·卡普尔），《颠倒世界，耶路撒冷》（ Turning the World Upside Down, Jerusalem）
这座巨大的不锈钢雕塑经过高度抛光，达到镜面效果。一位数学家想知道它是否是一个精确的双曲面，如果是，那么这样的二次曲面可能会显示出什么光学特性。有趣的是，安装在耶路撒冷的镜子的倒转效果确实显示了地球上的天堂（反之亦然）。
图7《针塔》 Kenneth Snelson（肯尼思·斯内尔森），《针塔》（Needle Tower）
Snelson 通过一系列模块征服了无限，这些模块沿着 26 米雕塑的高度按比例变小。观看者将它们误解为相同，因此将结构想象为延伸到消失点。在这种“张拉整体”（tensegrity）设计中，压缩元件永远不会相接触，从而上梁的重量沿着交替的压缩和拉伸元件链支撑。
图8《单一主题的十五个变体，（变体 1）》 Max Bill（马克斯·比尔），《单一主题的十五个变体，（变体 1）》Fifteen Variations on a Single Theme, (Variation 1)
在一系列石版画中，马克斯·比尔探索了基于正多边形嵌套序列的构造，从八条边减少到三条边，同时共享一个共同的边长。喜欢数学的观众会想要找出确定每个多边形哪一条边附着在下一个多边形的规则。
图9 瓷砖平铺 来自西班牙格拉纳达阿罕布拉宫的瓷砖平铺
镶嵌和饰带图案是许多文化中几何艺术的主要内容。这个 14 世纪或 15 世纪的例子说明了所谓的 333 轨形（orbifold）类型（按Thurston-Conway表示法），因为存在三种不同类型的 3 重旋转中心。
数学艺术的创作与教育意义
作为一名几何雕塑家，我并不孤单。有一个庞大的支持性数学/艺术社区。联合数学会议上的年度艺术展、数学与艺术桥梁会议、数学与艺术杂志、美国数学协会MAA 艺术特别兴趣小组 (SIGMAA-ARTS)、为期一学期的 ICERM 研讨会插图数学以及大量出版的书籍和文章都证明了该领域充满活力的健康状况。一个庞大的社区正在热情地创造和欣赏数学艺术。这主要由至少受过大学数学培训的人组成，但也包括广泛的数学爱好者、教育工作者和艺术家，他们对以创造性方式表达的模式和结构有天然的亲和力。
我经常对这些场馆中展出的一些新作品印象深刻，但我们必须清楚，世界一流的美术馆或高价拍卖行对这些努力并不感兴趣。产生这种数学/艺术的社区本身就是最热情的观众。人们一定想知道为什么。
显然，在我们的文化中，有些艺术品比其他艺术品更难欣赏。众所周知，二十世纪的视觉艺术和音乐对某些人来说是不透明的，通常需要受过更多教育的眼睛或耳朵。传统欧洲学术艺术或印象派的爱好者可能会与立体主义、达达主义、表现主义或更前卫的概念艺术划清界限。当艺术开始需要更积极的精神参与时，马克斯·比尔、索尔·勒维特和埃舍尔等二十世纪的艺术家将数学思想融入到他们的作品中。
我鼓励每个人都以艺术创作为目标，尤其是数学家。感受到创造的乐趣是非常有益的。这是一种真实的自我表达形式，可以让你发现自己内心的事物，并为你提供与新观众沟通的强大渠道。数学家尤其擅长以原创艺术形式表现出令人着迷的想法。当然，这说起来容易做起来难，因为存在许多概念、材料和表达方面的挑战，但数学家擅长解决难题。我希望任何喜欢创造性数学的人也会喜欢探索他们同样具有创造力的某些艺术领域。一路上，你可能会问自己“这真的是艺术吗？”并尝试给出一个答案。当你推动自己提高艺术水平时，制定你自己的数学艺术宣言的细节。
对我来说，创作雕塑是一种冲动。我可能会试图将其合理化为教育性的，我可能会很高兴收到有鉴赏力的观众的善意的话，我可能会享受销售的利润，但我这样做是一种强迫行为。这是一种缓解某些内在需求的疗法。我对数学艺术的确切本质感到困惑，但我不需要一个正式的框架来知道，设想新设计并将其变为现实在某种程度上是难以言表的。当一个人的思想变得清晰，迷雾变得清晰时，完成一件新雕塑就像解决一个难题一样令人满足。
对我来说，数学是巨大的智力乐趣的源泉，需要尽可能广泛地分享，而艺术是人类的最高意志。艺术可以提升精神或引发内省，因为它传达了更深层次的含义。一个丰富的艺术世界处处充满想法和灵感。我相信，随着社会的发展，越来越多的人将能够自由地创作艺术。作为一种基本的人文主义表达，艺术的范围需要通过数学家的观点来丰富。那些走过数学土地的人都有独特的故事来讲述他们的发现以及他们现在看待世界的方式。随着越来越多的数学家投身于艺术创作，我期待着品尝这些故事。随着例子的增加，这些讨论将继续下去，各种组织原则将开始涌现，我们对数学艺术的理解只会更加成熟。
本文原文来自澎湃新闻，原文作者是乔治·哈特（George W. Hart），一位自由数学雕塑家/设计师。