多普勒效应及多普勒频移的简单推导
多普勒效应及多普勒频移的简单推导
多普勒效应是物理学中的一个基础概念，描述了波源与观察者之间相对运动时，观察者接收到的波的频率变化。本文将从基本定义出发，通过简单的数学推导，揭示多普勒频移的物理本质。
多普勒频移的基本定义
多普勒频移（Doppler shift）是描述波源与观察者之间相对运动时，观察者接收到的波的频率变化。其定义式为：
$$
f_d \equiv f_R - f_T \tag{1}
$$
其中，$f_d$ 表示多普勒频移，$f_R$ 表示目标回波的频率（Hz），$f_T$ 表示发射信号的频率（Hz）。
多普勒频移的表达式
多普勒频移的表达式为：
$$
f_d = \frac{2v}{\lambda} \tag{2}
$$
其中，$\lambda$ 为信号波长（m），$v$ 为雷达与目标间的相对径向速度（m/s）。这是一个近似的表达式，适用于目标相对于雷达的径向速度远小于电磁波传播速度的情况。实际情况往往如此，因此通常用(2)式来计算目标的径向速度。
多普勒效应的物理意义
多普勒效应是由奥地利数学家多普勒首先发现和提出的，它反映了信号频率与运动速度之间的关系。值得注意的是这里的速度指相对的径向速度，即运动速度沿二者直线方向的分量。
多普勒频移的推导
下面对多普勒频移的表达式(2)作一个简单的推导。
雷达发射一段正弦波，起始点为A，终止点为B，在空间延伸的长度为D，频率为$f_0$。目标以径向速度$v_r$向着雷达飞行（远离雷达飞行时速度为负数，原理相同），如下图所示：
由于目标向雷达运动，B点接触目标后，到A点接触目标，所需的时间$\Delta t$为：
$$
\Delta t = \frac{D}{c + v_r} \quad (s) \tag{3}
$$
当A点接触目标时，B点相对于目标的距离就是反射后正弦波的长度$D'$，其计算式为：
$$
D' = (c - v_r) \cdot \Delta t = \frac{c - v_r}{c + v_r}D \tag{4}
$$
其中$c - v_r$表示B点反射后电磁波相对目标的速度。
反射后的正弦波长度小于反射前的长度，但波的个数是不变的，设反射后的频率为$f_0'$，则有：
$$
\frac{f_0'}{f_0} = \frac{D}{D'} = \frac{c + v_r}{c - v_r} = 1 + \frac{2v_r}{c - v_r} \approx 1 + \frac{2v_r}{c} \tag{5}
$$
上式成立的条件是电磁波传播速度远大于目标运动速度，实际情况中通常如此，则多普勒频移$f_d$为：
$$
f_d = f_0' - f_0 = f_0 \cdot \frac{2v_r}{c} = \frac{2v_r}{\lambda} \tag{6}
$$