高考数学：求极值问题的题型与解法全解析

高考数学：求极值问题的题型与解法全解析

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https://www.sohu.com/a/824608676_121124317

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https://blog.csdn.net/2303_80204192/article/details/143186120

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https://www.sohu.com/a/755014778_121124333

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https://blog.csdn.net/Deadwalk/article/details/139606334

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https://blog.csdn.net/wanghai2018/article/details/140739984

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https://www.haoedu.net/1176.html

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https://www.cnblogs.com/juruoajh/p/18237635

在高考数学中，求极值问题是一个重要的考点，也是许多考生感到头疼的难点。本文将系统地介绍高考数学中求极值的常见题型、解题方法以及一些实用的解题技巧，帮助大家更好地掌握这一知识点。

1. 函数与导数综合题

这类题目通常要求考生利用导数来研究函数的极值和最值。例如：

例题1：已知函数 (f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2ax^2 - 3x)（(a \in \mathbb{R})）。若函数在区间((-1, 1))内存在极小值点，求实数(a)的取值范围。

解析：

1. 首先求函数的导数：(f'(x) = 2x^2 - 4ax - 3)
2. 令导数等于0，解得：(x = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 + 24}}{4})
3. 要使函数在((-1, 1))内存在极小值点，需要满足：
   • (\frac{4a - \sqrt{16a^2 + 24}}{4} < -1)
   • (\frac{4a + \sqrt{16a^2 + 24}}{4} > 1)
4. 解不等式组可得：(a > \frac{1}{2})

2. 三角函数最值问题

这类题目主要涉及正弦、余弦函数的性质，需要考生灵活运用三角函数的单调性、周期性等知识。

例题2：求函数 (y = \sin x + \cos x + \sin x \cos x) 的最大值和最小值。

解析：

1. 令 (t = \sin x + \cos x)，则 (t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}])
2. 将原函数转化为关于(t)的二次函数：(y = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2})
3. 在区间([- \sqrt{2}, \sqrt{2}])上求该二次函数的最值，可得最大值为(\sqrt{2} + \frac{1}{2})，最小值为(-\frac{1}{2})

3. 应用题

这类题目通常将极值问题与实际问题相结合，需要考生建立数学模型并求解。

例题3：某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每件产品的变动成本为50元，售价为80元。设产量为(x)件，求利润最大时的产量及最大利润。

解析：

1. 建立利润函数：(L(x) = 80x - (2000 + 50x) = 30x - 2000)
2. 求导数：(L'(x) = 30)
3. 由于导数恒正，说明利润函数单调递增，因此产量越大，利润越高。但实际问题中需要考虑市场容量等因素。

4. 不等式约束下的极值问题

这类题目需要考生在满足一定约束条件下求函数的极值。

例题4：设正数(x, y)满足条件 (x + 2y = 1)，求 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) 的最小值。

解析：

1. 利用拉格朗日乘数法或代入消元法，将问题转化为一元函数的极值问题
2. 最终可得最小值为(3 + 2\sqrt{2})

1. 利用导数研究函数的极值

这是求极值问题中最常用的方法。基本步骤包括：

1. 求函数的定义域
2. 求导数
3. 解导数等于0的方程，找到临界点
4. 判断临界点两侧导数的符号，确定极值点
5. 求出极值

2. 分类讨论

在某些题目中，参数的取值会影响函数的极值，这时需要进行分类讨论。

例题5：讨论函数 (f(x) = x^3 - 3ax + 2) 的极值情况。

解析：

1. 求导数：(f'(x) = 3x^2 - 3a)
2. 分类讨论：
   • 当(a \le 0)时，导数非负，函数无极值
   • 当(a > 0)时，解得两个极值点(x = \pm\sqrt{a})，进一步判断极大值和极小值

3. 构造函数

在处理一些复杂的极值问题时，可以通过构造新的函数来简化问题。

例题6：证明不等式 (e^x > 1 + x) 对任意(x > 0)成立。

解析：

1. 构造函数 (f(x) = e^x - x - 1)
2. 求导数：(f'(x) = e^x - 1)
3. 分析导数的符号，证明函数在(x > 0)时单调递增，且(f(0) = 0)，从而得出结论

4. 不等式恒成立问题

这类问题通常需要转化为求函数的最值问题。

例题7：若不等式 (x^2 - 2ax + 1 > 0) 对任意(x \in \mathbb{R})都成立，求实数(a)的取值范围。

解析：

1. 转化为求函数 (f(x) = x^2 - 2ax + 1) 的最小值
2. 利用配方法或导数法求最小值
3. 令最小值大于0，解得(a)的范围

1. 定义域优先：在求解极值问题时，首先要确定函数的定义域，因为极值点必须在定义域内。

2. 导数的正确求解：熟练掌握各种函数的求导法则，特别是复合函数的导数。

3. 分类讨论要全面：在涉及参数的题目中，分类讨论要做到不重不漏。

4. 注意临界情况：在求解最值问题时，除了考虑极值点，还要检查边界点的情况。

5. 数形结合：在某些题目中，画出函数的图像可以帮助理解问题，找到解题思路。

6. 特殊值检验：在得到结果后，可以用特殊值代入检验，确保答案的合理性。

通过掌握这些解题方法和技巧，相信同学们在面对高考数学中的极值问题时，能够更加从容自信。当然，理论知识的学习只是第一步，更重要的是通过大量的练习来巩固和提高。祝大家在高考中取得优异的成绩！