高考数学冲刺：掌握求极值技巧

高考数学冲刺：掌握求极值技巧

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/138486224

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https://blog.csdn.net/Deadwalk/article/details/139606334

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https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=148

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https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/18393707

求极值问题是高考数学中的重要考点，几乎每年都会出现相关题目。掌握求极值的方法和技巧，对于在高考中取得高分至关重要。本文将详细介绍几种高效的求极值方法，助力考生在高考数学中取得优异成绩。

函数图像法

对于一些简单的函数，我们可以通过绘制函数图像来直观地找到极值点。例如，二次函数的图像是一条抛物线，其顶点就是函数的极值点。

导数法

对于更复杂的函数，我们通常使用导数法来求极值。具体步骤如下：

1. 求出函数的一阶导数
2. 令一阶导数等于0，解出可能的极值点
3. 判断这些点是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点

例如，对于函数 (f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x - 1)，我们首先求出其导数：

[f'(x) = x^2 + x - 2]

令 (f'(x) = 0)，解得 (x = -2) 和 (x = 1)。通过分析导数的符号变化，我们可以判断：

• 当 (x < -2) 时，(f'(x) > 0)，函数单调递增
• 当 (-2 < x < 1) 时，(f'(x) < 0)，函数单调递减
• 当 (x > 1) 时，(f'(x) > 0)，函数单调递增

因此，(x = -2) 是极大值点，(x = 1) 是极小值点。

利用基本不等式求极值

在一些题目中，我们可以利用基本不等式来求极值。关键是要对条件等式进行变形，满足基本不等式的使用条件。

例如，对于函数 (y = 2x + \frac{2}{x-1})，我们可以通过变形来求最小值：

[y = 2(x-1) + \frac{2}{x-1} + 2]

利用基本不等式 (a + \frac{1}{a} \geq 2)，当且仅当 (a = 1) 时取等号，我们可以得到：

[y \geq 2\sqrt{2(x-1) \cdot \frac{2}{x-1}} + 2 = 6]

因此，函数的最小值为6，当且仅当 (x = 2) 时取得。

线性规划方法

在线性规划问题中，我们通常需要在给定的约束条件下求目标函数的极值。解题步骤如下：

1. 画出可行域
2. 将目标函数的斜率与条件函数的斜率比较
3. 在可行域内移动目标函数，得出最优解

例如，对于约束条件 (x + y \leq 4)，(x \geq 0)，(y \geq 0)，求目标函数 (z = 2x + 3y) 的最大值。

通过图形分析，我们可以发现当 (x = 0)，(y = 4) 时，目标函数取得最大值12。

让我们通过一道高考真题来展示如何运用上述方法：

【2024年高考数学II卷8题】设函数 (f(x) = (x+a)\ln(x+b))，若 (f(x) \geq 0)，则 (a^2 + b^2) 的最小值为：

A. (\frac{1}{8})
B. (\frac{1}{4})
C. (\frac{1}{2})
D. (1)

解析：
要使 (f(x) \geq 0)，我们需要分析函数的零点和符号。注意到 (f(x) = 0) 的解为 (x = -a) 或 (x = -b)（当 (x+b > 0) 时）。为了保证函数非负，我们需要 (a = b)，这样函数可以写作 (f(x) = (x+a)^2)。

接下来，我们求 (a^2 + b^2) 的最小值。由于 (a = b)，问题转化为求 (2a^2) 的最小值。显然，当 (a = 0) 时，(2a^2) 取得最小值0。但是，我们需要检查这个值是否满足原函数的条件。

如果 (a = 0)，则 (f(x) = x^2)，显然满足 (f(x) \geq 0) 的条件。因此，(a^2 + b^2) 的最小值为0，但是这个选项不在给定的选项中，说明我们的假设 (a = b) 需要进一步验证。

实际上，我们需要 (x + a \geq 0) 且 (\ln(x + b) \geq 0) 或 (x + a \leq 0) 且 (\ln(x + b) \leq 0)。考虑到 (\ln(x + b) \geq 0) 当且仅当 (x + b \geq 1)，我们可以设 (a = -\frac{1}{2})，(b = \frac{1}{2})，这样当 (x \geq -\frac{1}{2}) 时，(f(x) \geq 0)。

因此，(a^2 + b^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2})。

正确答案是 C. (\frac{1}{2})。

求极值问题在高考中形式多样，但万变不离其宗。掌握基本的解题方法（如导数法、不等式法）和技巧（如线性规划、三角函数变换）是关键。在备考时，建议同学们：

1. 多做真题，熟悉各种题型
2. 重视基础概念的理解，如导数的几何意义
3. 学会灵活运用各种数学工具，如图像、不等式等
4. 注意细节，如定义域的限制、等号成立的条件等

通过系统的学习和练习，相信同学们一定能在高考数学中取得理想的成绩。