行列式竟然能算体积？！

创作时间:

作者:

@小白创作中心

行列式竟然能算体积？！

引用

CSDN

等

来源

https://blog.csdn.net/forest_LL/article/details/135662117

https://blog.csdn.net/weixin_43467525/article/details/137125975

https://blog.csdn.net/HRicardo/article/details/140489168

https://blog.csdn.net/passxgx/article/details/141305488

https://blog.csdn.net/wm_green_hand/article/details/104696157

https://wuli.wiki/online/DetVol.html

https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/determinant/

http://www.lubanyouke.com/51925.html

在数学中，行列式是一个非常重要的概念，它不仅在解线性方程组中发挥作用，还与几何图形的体积有着密切的关系。本文将从行列式的定义出发，逐步揭示行列式与体积之间的奇妙联系。

行列式的定义与性质

行列式是一个方阵的标量值，用于描述矩阵的某些特性。对于一个(n \times n)的矩阵(A)，其行列式记作(\det(A))或(|A|)。行列式的计算方法因矩阵的阶数而异：

一阶行列式：(\det(A) = a)
二阶行列式：(\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
三阶行列式：(\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{21}a_{32}a_{13} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{32}a_{23}a_{11})

高阶行列式可以通过行列式展开法则进行计算，即行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和。

行列式与体积的关系

行列式与体积的关系是线性代数中一个非常有趣且重要的发现。具体来说，行列式的绝对值表示由矩阵列向量构成的平行多面体的体积。

定理1：行列式就是向量组的体积

在标准正交基下，所有向量都可以用列矩阵来表示。在(N)维空间中，选出(N)个向量，将它们的列矩阵排成一行，得到一个(N \times N)方阵(M)。那么以这组向量为边长的平行多面体的体积，就是矩阵(M)的行列式(|M|)。

最简单的例子是单位矩阵，其行列式为1，对应于边长为1的单位立方体。进一步，对于对角矩阵
[
\begin{vmatrix}
a_1 & & \
& \ddots & \
& & a_N
\end{vmatrix}
]
其行列式等于(a_1a_2\cdots a_N)，正好是各边长为(a_1, a_2, \cdots, a_N)的长方体的体积。

对于不垂直的向量组，我们可以使用“平移法”来计算体积。这种方法的核心思想是：如果一组向量中，其中一个向量(u)进行变换(u \rightarrow u + av)（其中(v)是与(u)不共线的另一个向量，(a)是任意实数），那么变换前后形成的平行多面体体积不变。

这种体积的不变性与行列式的一种不变性紧密联系。通过反复利用这种列变换，我们可以将任意矩阵化为对角矩阵，而不改变其行列式。这个过程相当于将平行多面体变形为长方体，同时保持体积不变。因此，任意平行多面体的体积都可以通过计算其边长向量构成的矩阵的行列式来得到。

例1：计算三维平行六面体的体积

在三维空间中，给定一个平行六面体，其三边长对应的向量分别是(\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix})、(\begin{pmatrix}2\2\1\end{pmatrix})和(\begin{pmatrix}1\7\3\end{pmatrix})，则这个平行多面体的体积就是
[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \
2 & 2 & 7 \
3 & 1 & 3
\end{vmatrix} = 25
]