中考数学冲刺：一次函数与三角形真题解析

中考数学冲刺：一次函数与三角形真题解析

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CSDN

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来源

1.

https://blog.csdn.net/yangrenrui/article/details/136118582

2.

https://blog.csdn.net/qq_26390449/article/details/136635478

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/137070014

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https://www.fxhaoke.com/shuxue/shuxue09/3224.html

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http://www.360doc.com/content/24/0912/12/78920057_1133803897.shtml

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https://see.fandom.com/zh/wiki/%E3%80%90%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%80%91%E9%AB%98%E5%88%86%E6%94%BB%E7%95%A5%EF%BC%9A%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%8A%80%E5%B7%A7%E5%A4%A7%E6%8F%AD%E7%A7%98

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https://m.zhongzhao.org.cn/news/show-346137.html

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https://m.qidian.com/ask/qenqbyckgbp

9.

https://www.bilibili.com/video/BV1G1421k7Lp/

10.

https://m.qidian.com/ask/qgtenfourrh

中考数学中，一次函数与三角形的结合是常见的考点，这类题目不仅考查学生对一次函数的理解，还要求学生能够灵活运用三角形的相关知识。本文将通过几道典型例题，帮助大家掌握这类题目的解题方法。

例题1

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：(y = -\frac{3}{4}x + 6)分别交x轴、y轴于点A和B。P是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D。

1. 求证：△APC∽△BPD。
2. 当OC=OD时，求点P的坐标。

解析：

1. 证明相似性

• 直线AB方程为 (y = -\frac{3}{4}x + 6)。
• A点（x轴交点）：令 (y = 0)，解得 (x = 8)，故A(8, 0)。
• B点（y轴交点）：令 (x = 0)，解得 (y = 6)，故B(0, 6)。

分析∠APC和∠BPD的关系：

• ∵ PC⊥x轴，PD⊥y轴，
• ∴ ∠PCA = ∠PDB = 90°。
• 又∵ ∠ACP = ∠BDP = 90°，
• ∴ 四边形PCOD是矩形，从而∠CPD = 90°。
• 在△APC和△BPD中：
  • ∠CAP + ∠APC = 90°（因为∠PCA = 90°）；
  • ∠PBD + ∠BPD = 90°（因为∠PDB = 90°）；
  • 而∠APC = ∠BPD（对顶角相等），
• ∴ ∠CAP = ∠PBD。

根据“两角对应相等，两三角形相似”的原则，得出△APC∽△BPD。

2. 求点P坐标

设P(x, y)，则OC = x，OD = y。

由题意知OC = OD，即x = y。

将y用x表示代入直线AB方程：(x = -\frac{3}{4}x + 6)。

整理方程得 (\frac{7}{4}x = 6)，解得 (x = \frac{24}{7})。

由于x = y，因此 (y = \frac{24}{7})。

所以点P的坐标为 ((\frac{24}{7}, \frac{24}{7}))。

例题2

在平面直角坐标系中，直线(y = 2x + 3)与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，且OC = 2OA。求△ABC的面积。

解析：

1. 求点A、B坐标

• A点（x轴交点）：令 (y = 0)，解得 (x = -\frac{3}{2})，故A(-1.5, 0)。
• B点（y轴交点）：令 (x = 0)，解得 (y = 3)，故B(0, 3)。

2. 求点C坐标

• 已知OC = 2OA，且OA = 1.5，所以OC = 3。
• C点在x轴上，故C(3, 0)或C(-3, 0)。

3. 计算△ABC面积

• 当C(3, 0)时，AC = 4.5，BC = 3，所以面积为 (\frac{1}{2} \times 4.5 \times 3 = 6.75)。
• 当C(-3, 0)时，AC = 1.5，BC = 3，所以面积为 (\frac{1}{2} \times 1.5 \times 3 = 2.25)。

例题3

已知直线(y = -x + 4)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在直线AB上，且AP：PB = 1：2。求点P的坐标。

解析：

1. 求点A、B坐标

• A点（x轴交点）：令 (y = 0)，解得 (x = 4)，故A(4, 0)。
• B点（y轴交点）：令 (x = 0)，解得 (y = 4)，故B(0, 4)。

2. 求点P坐标

• 设P(x, y)，则AP：PB = 1：2。
• 根据分点坐标公式，得 (x = \frac{2 \times 4 + 1 \times 0}{3} = \frac{8}{3})。
• 将x代入直线方程，得 (y = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3})。

所以点P的坐标为 ((\frac{8}{3}, \frac{4}{3}))。

1. 坐标系的运用：在解决一次函数与三角形结合的题目时，首先要准确求出直线与坐标轴的交点坐标，这是解题的基础。

2. 相似三角形的判定：当题目涉及相似三角形时，要善于利用角度关系和比例关系来证明相似，这是解题的关键。

3. 面积计算方法：计算三角形面积时，要根据题目条件选择合适的方法，如直接计算底和高，或使用海伦公式等。

4. 比例关系的应用：当题目涉及线段的比例关系时，要灵活运用分点坐标公式，简化计算过程。

1. 直线(y = -2x + 6)与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在直线AB上，且AC：CB = 1：3。求点C的坐标。

2. 在平面直角坐标系中，直线(y = \frac{1}{2}x + 2)与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，且OC = OA。求△ABC的面积。

3. 直线(y = -\frac{1}{3}x + 4)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D。当OC = 2OD时，求点P的坐标。

1. C((\frac{9}{4}), (\frac{3}{2}))

2. 4

3. P((\frac{24}{5}), (\frac{12}{5}))

通过以上例题和练习，相信同学们对一次函数与三角形结合的题目有了更深入的理解。在解题过程中，要善于运用坐标系、相似三角形、面积计算等知识，灵活选择解题方法。祝大家在中考中取得好成绩！