考研数学：轻松掌握向量组的极大无关组

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考研数学：轻松掌握向量组的极大无关组

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https://wenku.csdn.net/doc/7itgtz0rzs

https://blog.csdn.net/huanfeng_AI/article/details/145292019

https://blog.csdn.net/huanfeng_AI/article/details/140594478

https://blog.csdn.net/qq_63712292/article/details/139337897

https://blog.csdn.net/a131529/article/details/139704044

https://blog.csdn.net/qq_39328436/article/details/133862030

https://github.com/pinkieli/GitHub-Chinese-Top-Charts/blob/master/README-Part2.md

https://www.hlsky.com/news/4363.html

https://kmath.cn/math/

从一道考研真题看极大无关组的重要性

在考研数学中，向量组的极大无关组是一个重要且常考的知识点。让我们先来看一道典型的考研真题：

例题：设( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s )为线性方程组( Ax=0 )的一个基础解系，( \beta_1 = t_1\alpha_1 + t_2\alpha_2 )，( \beta_2 = t_1\alpha_2 + t_2\alpha_3 )，…，( \beta_s = t_1\alpha_s + t_2\alpha_1 )，其中( t_1, t_2 )为实常数。试问( t_1, t_2 )满足什么关系时( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s )也为线性方程组( Ax=0 )的一个基础解系。

这道题目实际上是在考察极大无关组的相关知识。要解决这个问题，我们需要深入理解极大无关组的定义、性质以及如何求解极大无关组。

极大无关组的核心概念

定义：设有一向量组A：( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s )，其中部分向量( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_r )满足：

线性无关；
向量组A中任意( r+1 )个向量（如果存在）都线性相关。

则称( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_r )为向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。

基本性质：

唯一性与等价性：极大无关组不唯一，但任意向量组与其极大无关组等价，且不同极大无关组之间也等价。
秩的概念：极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩；只含零向量的向量组无极大无关组，其秩定义为0。
齐次方程组的基础解系：齐次线性方程组的解向量的极大无关组即为其基础解系。

求解方法与实例分析

求解方法：

扩充法：从非零向量开始，逐步添加新向量并检验线性无关性，直至无法继续扩展。
初等变换法：通过矩阵的初等行变换化简，选取非零行首非零元所在列对应的向量作为极大无关组。

让我们通过一个具体例子来说明如何求解极大无关组：

例题：求向量组( \alpha_1 = (1, 2, -1) )，( \alpha_2 = (-1, -4, 3) )，( \alpha_3 = (5, 8, -7) )的极大无关组，并用它表示其余向量。

解答步骤：

构造矩阵( A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] )，并通过初等行变换简化：
[
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 5 \
2 & -4 & 8 \
-1 & 3 & -7
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 5 \
0 & -2 & -2 \
0 & 2 & -2
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 5 \
0 & -2 & -2 \
0 & 0 & -4
\end{pmatrix}
]
非零行首非零元在第一、二、三列，故( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 )构成极大无关组。
表示关系由行最简形得出：
[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \
0 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
]
得到( \alpha_3 = 2\alpha_1 + \alpha_2 )。